- 数学C｜平面上のベクトル「重心が一致することの証明(位置ベクトル)」の基本例題解説ページです。
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問題｜重心が一致することの証明(位置ベクトル)
平面上のベクトル 47\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC~,~ CA~,~ AB}\) の中点を \({\rm L~,~ M~,~N}\) とするとき、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) と \(\triangle {\rm LMN}\) の重心 \({\rm G^{\prime}}\) が一致することの証明方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
重心が一致することの証明(位置ベクトル)
Point：重心が一致することの証明(位置ベクトル)
① 各頂点や重心を位置ベクトルでおく。
\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})~,~{\rm G}(\overrightarrow{g})\)
\({\rm L}(\overrightarrow{l})~,~{\rm M}(\overrightarrow{m})~,~{\rm N}(\overrightarrow{n})~,~{\rm G^{\prime}}(\overrightarrow{g^{\prime}})\)
② それぞれの重心を位置ベクトルの式で表す。
\(\begin{eqnarray}~~\overrightarrow{g}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}~,~\overrightarrow{g^{\prime}}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{l}+\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
③ 内分点(中点)の条件より、\(\overrightarrow{g^{\prime}}=\overrightarrow{g}\) であることを示す。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{l}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{m}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{n}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
これらを代入して、\(\overrightarrow{g^{\prime}}=\overrightarrow{g}\) を示す。
2つの三角形の重心が一致することの証明の手順は、
① 各頂点や重心を位置ベクトルでおく。
\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})~,~{\rm G}(\overrightarrow{g})\)
\({\rm L}(\overrightarrow{l})~,~{\rm M}(\overrightarrow{m})~,~{\rm N}(\overrightarrow{n})~,~{\rm G^{\prime}}(\overrightarrow{g^{\prime}})\)
② それぞれの重心を位置ベクトルの式で表す。
\(\begin{eqnarray}~~\overrightarrow{g}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}~,~\overrightarrow{g^{\prime}}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{l}+\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
③ 内分点(中点)の条件より、\(\overrightarrow{g^{\prime}}=\overrightarrow{g}\) であることを示す。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{l}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{m}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{n}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
これらを代入して、\(\overrightarrow{g^{\prime}}=\overrightarrow{g}\) を示す。
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詳しい解説｜重心が一致することの証明(位置ベクトル)
平面上のベクトル 47
\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC~,~ CA~,~ AB}\) の中点を \({\rm L~,~ M~,~N}\) とするとき、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心 \({\rm G}\) と \(\triangle {\rm LMN}\) の重心 \({\rm G^{\prime}}\) が一致することの証明方法は？
高校数学C｜平面上のベクトル
[証明]
それぞれの位置ベクトルを、
\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})~,~{\rm G}(\overrightarrow{g})\)
\({\rm L}(\overrightarrow{l})~,~{\rm M}(\overrightarrow{m})~,~{\rm N}(\overrightarrow{n})~,~{\rm G^{\prime}}(\overrightarrow{g^{\prime}})\)
とおく
\(\triangle \rm ABC\) の重心 \(\rm G\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{g}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(\triangle \rm LMN\) の重心 \(\rm G^{\prime}\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{g^{\prime}}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{l}+\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}\,}{\,3\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\rm L, M, N\) はそれぞれ \(\rm BC, CA, AB\) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{l}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{m}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{n}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{g^{\prime}}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\left(\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,2\,}
+\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\,}{\,2\,}
+\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{g}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\overrightarrow{g^{\prime}}=\overrightarrow{g}\) より、\(\rm G\) と \(\rm G^{\prime}\) は一致する [終]
