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重心が一致することの証明(位置ベクトル) で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm ABC}\) の辺 \({\rm BC~,~ CA~,~ AB}\) を \(1:2\) に内分する点を、それぞれ \({\rm P~,~ Q~,~R}\) とする。また、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心を \({\rm G}\)、\(\triangle {\rm PQR}\) の重心を \({\rm G^{\prime}}\) とする。このとき、次のことを証明せよ。
\({\small (1)}~\) \({\rm G}\) と \({\rm G^{\prime}}\) は一致する。
\({\small (2)}~\) 等式 \(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}\) が成り立つ。
\({\small (1)}~\) \({\rm G}\) と \({\rm G^{\prime}}\) は一致する。
\({\small (2)}~\) 等式 \(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}\) が成り立つ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.34 練習24
\({\small (1)}~\)[証明] それぞれの位置ベクトルを、
\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})~,~{\rm G}(\overrightarrow{g})\)
\({\rm P}(\overrightarrow{p})~,~{\rm Q}(\overrightarrow{q})~,~{\rm R}(\overrightarrow{r})~,~{\rm G^{\prime}}(\overrightarrow{g^{\prime}})\)
とおく
\(\triangle \rm ABC\) の重心 \(\rm G\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{g}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(\triangle \rm PQR\) の重心 \(\rm G^{\prime}\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{g^{\prime}}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r}\,}{\,3\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\rm P,~ Q,~ R\) はそれぞれ \(\rm BC,~ CA,~ AB\) を \(1:2\) に内分する点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{p}&=&\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{q}&=&\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{r}&=&\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{g^{\prime}}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\left(\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
+\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\,}{\,3\,}
+\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{g}
\end{eqnarray}\)
+\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\,}{\,3\,}
+\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{g}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\overrightarrow{g^{\prime}}=\overrightarrow{g}\) より、\(\rm G\) と \(\rm G^{\prime}\) は一致する [終]
\({\small (2)}~\)[証明] それぞれの位置ベクトルを、
\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})~,~{\rm G}(\overrightarrow{g})\)
とおく
\(\triangle \rm ABC\) の重心 \(\rm G\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{g}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}&=&3\overrightarrow{g}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}
\\[5pt]~~~&=&(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{g})
\\[5pt]~~~&=&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-3\overrightarrow{g}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}&=&3\overrightarrow{g}-3\overrightarrow{g}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{0}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}\) が成り立つ [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ023点 \({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})\) を頂点とする \(\triangle {\rm ABC}\) において、辺 \({\rm BC~,~ CA~,~ AB}\) を \(2:1\) に内分する点を、それぞれ \({\rm P~,~ Q~,~R}\) とする。また、\(\triangle {\rm ABC}\) の重心を \({\rm G}\)、\(\triangle {\rm PQR}\) の重心を \({\rm G^{\prime}}\) とする。
\({\small (1)}~\) 点 \({\rm G^{\prime}}\) の位置ベクトル \(\overrightarrow{g^{\prime}}\) を \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\) を用いて表せ。
\({\small (2)}~\) 等式 \(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}\) が成り立つことを示せ。
\({\small (1)}~\) 点 \({\rm G^{\prime}}\) の位置ベクトル \(\overrightarrow{g^{\prime}}\) を \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\) を用いて表せ。
\({\small (2)}~\) 等式 \(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}\) が成り立つことを示せ。
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.35 練習29
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.35 練習29
\({\small (1)}~\)\({\rm P}(\overrightarrow{p})~,~{\rm Q}(\overrightarrow{q})~,~{\rm R}(\overrightarrow{r})\) とおく
\(\rm P,~ Q,~ R\) はそれぞれ \(\rm BC,~ CA,~ AB\) を \(2:1\) に内分する点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{p}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{q}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{a}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{r}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
\(\triangle \rm PQR\) の重心 \(\rm G^{\prime}\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{g^{\prime}}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\left(\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
+\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{a}\,}{\,3\,}
+\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\left(\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
+\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{c}+2\overrightarrow{a}\,}{\,3\,}
+\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\,}{\,3\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\overrightarrow{g^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}\)
\({\small (2)}~\)[証明] それぞれの位置ベクトルを、
\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})~,~{\rm G}(\overrightarrow{g})\)
とおく
\(\triangle \rm ABC\) の重心 \(\rm G\) について、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{g}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}&=&3\overrightarrow{g}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}
\\[5pt]~~~&=&(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{g})+(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{g})
\\[5pt]~~~&=&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-3\overrightarrow{g}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}&=&3\overrightarrow{g}-3\overrightarrow{g}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{0}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{0}\) が成り立つ [終]
