このページは、「ベクトルの内分点と等式の証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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ベクトルの内分点と等式の証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm ABC}\) において、辺 \({\rm BC~,~ CA~,~ AB}\) を、\(m:n\) に内分する点を、それぞれ \({\rm D~,~ E~,~F}\) とするとき、次の等式が成り立つことを証明せよ。
\({\small (1)}~\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm BE}+\overrightarrow{\rm CF}=\overrightarrow{0}\)
\({\small (2)}~\overrightarrow{\rm AE}+\overrightarrow{\rm BF}+\overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{0}\)
\({\small (1)}~\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm BE}+\overrightarrow{\rm CF}=\overrightarrow{0}\)
\({\small (2)}~\overrightarrow{\rm AE}+\overrightarrow{\rm BF}+\overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{0}\)
数研出版｜数学Ｃ[708] p.47 問題 9
\({\small (1)}~\)[証明] それぞれの位置ベクトルを、
\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})\)
\({\rm D}(\overrightarrow{d})~,~{\rm E}(\overrightarrow{e})~,~{\rm F}(\overrightarrow{f})\)
とおくと、
点 \({\rm D~,~ E~,~F}\) が辺 \({\rm BC~,~ CA~,~ AB}\) をそれぞれ \(m:n\) に内分する点であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{d}&=&\displaystyle \frac{\,n{\, \small \times \,}\overrightarrow{b}+m{\, \small \times \,}\overrightarrow{c}\,}{\,m+n\,}=\displaystyle \frac{\,n\overrightarrow{b}+m\overrightarrow{c}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{e}&=&\displaystyle \frac{\,n{\, \small \times \,}\overrightarrow{c}+m{\, \small \times \,}\overrightarrow{a}\,}{\,m+n\,}=\displaystyle \frac{\,n\overrightarrow{c}+m\overrightarrow{a}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{f}&=&\displaystyle \frac{\,n{\, \small \times \,}\overrightarrow{a}+m{\, \small \times \,}\overrightarrow{b}\,}{\,m+n\,}=\displaystyle \frac{\,n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}\,}{\,m+n\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}+\overrightarrow{f}\) を \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\) を用いて表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}+\overrightarrow{f}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n\overrightarrow{b}+m\overrightarrow{c}+n\overrightarrow{c}+m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(m+n)\overrightarrow{a}+(m+n)\overrightarrow{b}+(m+n)\overrightarrow{c}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)
これより、等式の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm BE}+\overrightarrow{\rm CF}
\\[5pt]~~~&=&(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{a})+(\overrightarrow{e}-\overrightarrow{b})+(\overrightarrow{f}-\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&(\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}+\overrightarrow{f})-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{0}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm BE}+\overrightarrow{\rm CF}=\overrightarrow{0}\) [終]
\({\small (2)}~\)[証明] それぞれの位置ベクトルを、
\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})\)
\({\rm D}(\overrightarrow{d})~,~{\rm E}(\overrightarrow{e})~,~{\rm F}(\overrightarrow{f})\)
とおくと、
点 \({\rm D~,~ E~,~F}\) が辺 \({\rm BC~,~ CA~,~ AB}\) をそれぞれ \(m:n\) に内分する点であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{d}&=&\displaystyle \frac{\,n{\, \small \times \,}\overrightarrow{b}+m{\, \small \times \,}\overrightarrow{c}\,}{\,m+n\,}=\displaystyle \frac{\,n\overrightarrow{b}+m\overrightarrow{c}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{e}&=&\displaystyle \frac{\,n{\, \small \times \,}\overrightarrow{c}+m{\, \small \times \,}\overrightarrow{a}\,}{\,m+n\,}=\displaystyle \frac{\,n\overrightarrow{c}+m\overrightarrow{a}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{f}&=&\displaystyle \frac{\,n{\, \small \times \,}\overrightarrow{a}+m{\, \small \times \,}\overrightarrow{b}\,}{\,m+n\,}=\displaystyle \frac{\,n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}\,}{\,m+n\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}+\overrightarrow{f}\) を \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\) を用いて表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}+\overrightarrow{f}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n\overrightarrow{b}+m\overrightarrow{c}+n\overrightarrow{c}+m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,(m+n)\overrightarrow{a}+(m+n)\overrightarrow{b}+(m+n)\overrightarrow{c}\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)
これより、等式の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\overrightarrow{\rm AE}+\overrightarrow{\rm BF}+\overrightarrow{\rm CD}
\\[5pt]~~~&=&(\overrightarrow{e}-\overrightarrow{a})+(\overrightarrow{f}-\overrightarrow{b})+(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&(\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}+\overrightarrow{f})-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{0}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overrightarrow{\rm AE}+\overrightarrow{\rm BF}+\overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{0}\) [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\triangle {\rm ABC}\) で辺 \({\rm BC~,~ CA~,~ AB}\) を \(3:1\) に内分する点をそれぞれ \({\rm P~,~ Q~,~R}\) とするとき、\(\overrightarrow{\rm AP}+\overrightarrow{\rm BQ}+\overrightarrow{\rm CR}=\overrightarrow{0}\) であることを示せ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.44 問題 7
[証明] それぞれの位置ベクトルを、
\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})\)
\({\rm P}(\overrightarrow{p})~,~{\rm Q}(\overrightarrow{q})~,~{\rm R}(\overrightarrow{r})\)
とおくと、
点 \({\rm P~,~ Q~,~R}\) が辺 \({\rm BC~,~ CA~,~ AB}\) をそれぞれ \(3:1\) に内分する点であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{p}&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}\overrightarrow{b}+3{\, \small \times \,}\overrightarrow{c}\,}{\,3+1\,}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{q}&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}\overrightarrow{c}+3{\, \small \times \,}\overrightarrow{a}\,}{\,3+1\,}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{c}+3\overrightarrow{a}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{r}&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}\overrightarrow{a}+3{\, \small \times \,}\overrightarrow{b}\,}{\,3+1\,}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\,}{\,4\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r}\) を \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\) を用いて表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}+3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)
これより、等式の左辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\overrightarrow{\rm AP}+\overrightarrow{\rm BQ}+\overrightarrow{\rm CR}
\\[5pt]~~~&=&(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})+(\overrightarrow{q}-\overrightarrow{b})+(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&(\overrightarrow{p}+\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r})-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{0}
\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overrightarrow{\rm AP}+\overrightarrow{\rm BQ}+\overrightarrow{\rm CR}=\overrightarrow{0}\) [終]
