平面上の3点が一直線にあることの証明

[証明]

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平行四辺形 \(\rm ABCD\) で、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}\) とおくと、

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　\(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}\)

 

点 \( \rm E \) は辺 \( \rm BC \) を \(2:1\) に内分するので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AE}
&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AB}+2{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AC}\,}{\,2+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+2(\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b})\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{d}\,}{\,3\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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また、点 \( \rm F \) は対角線 \( \rm BD \) を \(2:3\) に内分するので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,3{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AB}+2{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AD}\,}{\,2+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{d}\,}{\,5\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

 

\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,3\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{d}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{d}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,3\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{d}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{\rm AE}　\hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)

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したがって、点 \( \rm A~,~E~,~F \) は一直線上にある [終]