平面上の3点が一直線にあることの証明

数研出版｜数学Ｃ[708] p.35 練習25

[証明]

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\(\triangle {\rm ABC}\) で、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とおくと、

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　\(\overrightarrow{\rm AD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}\)

---

点 \( \rm E \) は辺 \( \rm BC \) を \(4:1\) に内分するので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AE}
&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AB}+4{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AC}\,}{\,4+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}\,}{\,5\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、点 \( \rm F \) は線分 \( \rm CD \) を \(3:4\) に内分するので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,4{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AC}+3{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AD}\,}{\,3+4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\overrightarrow{c}+3{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}\,}{\,7\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}\,}{\,7\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}\,}{\,7\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}\,}{\,7\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7\,}\,\overrightarrow{\rm AE}　\hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)

---

したがって、点 \( \rm A~,~F~,~E \) は一直線上にある [終]

数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.36 練習30

[証明]

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\(\triangle {\rm ABC}\) で、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とおくと、

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　\(\overrightarrow{\rm AD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}\)

---

点 \( \rm E \) は辺 \( \rm BC \) を \(3:1\) に内分するので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AE}
&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AB}+3{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AC}\,}{\,3+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\,}{\,4\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、点 \( \rm F \) は線分 \( \rm CD \) の中点なので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AC}+1{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AD}\,}{\,1+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{c}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\,}{\,6\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\,\overrightarrow{\rm AE}　\hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)

---

したがって、点 \( \rm A~,~F~,~E \) は一直線上にある [終]

数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.46 問題 7
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.47 補充問題 4

[証明]

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平行四辺形 \({\rm OABC}\) で、\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}\) とおくと、

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　\(\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\)

---

点 \( \rm D \) は辺 \( \rm OA \) を \(2:1\) に内分するので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OD}
&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{a}
\end{eqnarray}\)

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点 \( \rm E \) は辺 \( \rm OC \) を \(2:1\) に内分するので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OE}
&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)

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よって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm DE}
&=&\overrightarrow{\rm OE}-\overrightarrow{\rm OD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{c}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{a}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、点 \( \rm F \) は対角線 \( \rm OB \) を \(1:2\) に内分するので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OF}
&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)

---

よって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm DF}
&=&\overrightarrow{\rm OF}-\overrightarrow{\rm OD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{a}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm DF}
&=&\displaystyle \frac{\,-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\overrightarrow{\rm DE}　\hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)

---

したがって、点 \( \rm D~,~F~,~E \) は一直線上にある [終]

数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.47 章末問題A 5
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.48 章末問題A 5

\({\small (1)}~\)

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\(\triangle {\rm ABC}\) で、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とおく。

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　点 \( \rm D \) は辺 \( \rm AB \) を \(1:2\) に内分するので、\(\overrightarrow{\rm AD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}\)

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\({\small (1)}~\) 点 \( \rm E \) は辺 \( \rm BC \) を \(3:1\) に内分するので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AE}
&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AB}+3{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AC}\,}{\,3+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\,}{\,4\,}
\end{eqnarray}\)

---

点 \( \rm P \) は線分 \( \rm AE \) 上にあるので、実数 \( s \) を用いて、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}
&=&s\,\overrightarrow{\rm AE}
\\[5pt]~~~&=&s{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,s\,}{\,4\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,3s\,}{\,4\,}\overrightarrow{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、点 \( \rm P \) は線分 \( \rm CD \) 上にあるので、実数 \( t \) を用いて、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}
&=&\overrightarrow{\rm AC}+t\,\overrightarrow{\rm CD}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{c}+t\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,t\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}+(1-t)\overrightarrow{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

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\(\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{c}\) は一次独立なので、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) の係数を比較すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,s\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,t\,}{\,3\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,3s\,}{\,4\,}&=&1-t~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,3\,]}\) より \( s=\displaystyle \frac{\,4t\,}{\,3\,} \) を \({\small [\,4\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4t\,}{\,3\,}&=&1-t
\\[5pt]~~~t&=&1-t
\\[5pt]~~~2t&=&1
\\[5pt]~~~t&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)

---

\( t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \) を \({\small [\,3\,]}\) に代入すると、\( s=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \)

---

\( s=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \) を \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}
&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)

---

したがって、\(\overrightarrow{\rm AP}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}\)

 

\({\small (2)}~\) [証明]

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点 \( \rm F \) は辺 \( \rm CA \) を \(2:3\) に内分するので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{\rm AC}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)

---

\(\overrightarrow{\rm BP}\) を求めると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BP}
&=&\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\(\overrightarrow{\rm BF}\) を求めると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BF}
&=&\overrightarrow{\rm AF}-\overrightarrow{\rm AB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}
\\[5pt]~~~&=&-\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,6\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,5\,]}\) を式変形して、\({\small [\,6\,]}\) と比較すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BP}
&=&-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\left(-\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{c}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\,\overrightarrow{\rm BF}　\hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,6\,]}\,)
\end{eqnarray}\)

---

したがって、点 \( \rm B~,~P~,~F \) は一直線上にある [終]

数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.37 練習31
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.29 問4

[証明]

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平行四辺形 \({\rm ABCD}\) で、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}\) とおくと、

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　\(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}\)

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点 \( \rm E \) は辺 \( \rm BC \) を \(3:2\) に内分するので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AE}
&=&\displaystyle \frac{\,2{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AB}+3{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AC}\,}{\,3+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{b}+3(\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b})\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}\,}{\,5\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、点 \( \rm F \) は対角線 \( \rm BD \) を \(3:5\) に内分するので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,5{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AB}+3{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AD}\,}{\,3+5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}\,}{\,8\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}\,\overrightarrow{\rm AE}　\hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)

---

したがって、点 \( \rm A~,~F~,~E \) は一直線上にある [終]

東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.44 問題 8

[解答]

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平行四辺形 \({\rm ABCD}\) で、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}\) とおくと、

---

　\(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}\)

---

点 \( \rm E \) は辺 \( \rm BC \) を \(3:2\) に内分するので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AE}
&=&\displaystyle \frac{\,2{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AB}+3{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AC}\,}{\,3+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{b}+3(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{d}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、点 \( \rm F \) は辺 \( \rm CD \) を \(2:k\) に外分するので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,-k{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AC}+2{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AD}\,}{\,2-k\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-k(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})+2\overrightarrow{d}\,}{\,2-k\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-k\overrightarrow{b}+(2-k)\overrightarrow{d}\,}{\,2-k\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-k\,}{\,2-k\,}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

3点 \({\rm A}~,~{\rm E}~,~{\rm F}\) が一直線上にあるとき、

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　\(\overrightarrow{\rm AF}=t\,\overrightarrow{\rm AE}\) となる実数 \(t\) が存在する

---

\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,-k\,}{\,2-k\,}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}&=&t\left(\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{d}\right)
\end{eqnarray}\)

---

\(\overrightarrow{b}\) と \(\overrightarrow{d}\) は一次独立なので、係数を比較すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,-k\,}{\,2-k\,}&=&t~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\\[5pt]~~~1&=&\displaystyle \frac{\,3t\,}{\,5\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,4\,]}\) より、\(t=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\)

---

\(t=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\) を \({\small [\,3\,]}\) に代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,-k\,}{\,2-k\,}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~-3k&=&5(2-k)
\\[5pt]~~~-3k&=&10-5k
\\[5pt]~~~2k&=&10
\\[5pt]~~~k&=&5
\end{eqnarray}\)

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したがって、\(k=5\)

東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.68 練習問題A 4

[証明]

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\(\triangle {\rm ABC}\) で、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とおく。

---

点 \( \rm P \) は辺 \( \rm AB \) を \(2:1\) に内分するので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}
&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)

---

点 \( \rm Q \) は辺 \( \rm BC \) を \(2:3\) に内分するので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AQ}
&=&\displaystyle \frac{\,3{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AB}+2{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AC}\,}{\,2+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)

---

点 \( \rm R \) は辺 \( \rm CA \) を \(3:4\) に外分するので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AR}
&=&\displaystyle \frac{\,-4{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AC}+3{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AA}\,}{\,3-4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-4\overrightarrow{c}\,}{\,-1\,}
\\[5pt]~~~&=&4\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\(\overrightarrow{\rm PQ}\) を求めると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm PQ}
&=&\overrightarrow{\rm AQ}-\overrightarrow{\rm AP}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\,}{\,5\,}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\overrightarrow{b}+6\overrightarrow{c}-10\overrightarrow{b}\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-\overrightarrow{b}+6\overrightarrow{c}\,}{\,15\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、\(\overrightarrow{\rm PR}\) を求めると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm PR}
&=&\overrightarrow{\rm AR}-\overrightarrow{\rm AP}
\\[5pt]~~~&=&4\overrightarrow{c}-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}+4\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-2\overrightarrow{b}+12\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm PR}
&=&\displaystyle \frac{\,-2\overrightarrow{b}+12\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2(-\overrightarrow{b}+6\overrightarrow{c})\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}15{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,-\overrightarrow{b}+6\overrightarrow{c}\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&10\,\overrightarrow{\rm PQ}　\hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)

---

したがって、点 \( \rm P~,~Q~,~R \) は一直線上にある [終]

東京書籍｜Standard数学Ｃ[702] p.37 問4

[証明]

---

平行四辺形 \({\rm OABC}\) で、\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}\) とおくと、

---

　\(\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}\)

---

点 \( \rm D \) は辺 \( \rm AB \) を \(3:2\) に内分するので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OD}
&=&\displaystyle \frac{\,2{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm OA}+3{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm OB}\,}{\,3+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{a}+3(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{c}\,}{\,5\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、点 \( \rm E \) は対角線 \( \rm AC \) を \(3:5\) に内分するので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OE}
&=&\displaystyle \frac{\,5{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm OA}+3{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm OC}\,}{\,3+5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{c}\,}{\,8\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OE}
&=&\displaystyle \frac{\,5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{c}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{c}\,}{\,8\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{c}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}\,\overrightarrow{\rm OD}　\hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)

---

したがって、点 \( \rm O~,~E~,~D \) は一直線上にある [終]

東京書籍｜Standard数学Ｃ[702] p.47 Training 14

[証明]

---

平行四辺形 \({\rm ABCD}\) で、\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}\) とおくと、

---

　\(\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}\)

---

点 \( \rm E \) は辺 \( \rm BC \) を \(3:1\) に内分するので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AE}
&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AB}+3{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AC}\,}{\,3+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+3(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}\,}{\,4\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

また、点 \( \rm F \) は辺 \( \rm CD \) を \(1:4\) に外分するので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,-4{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AC}+1{\, \small \times \,}\overrightarrow{\rm AD}\,}{\,1-4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-4(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d})+\overrightarrow{d}\,}{\,-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,-4\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{d}\,}{\,-3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}\,}{\,3\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\({\small [\,1\,]}\) を式変形して、\({\small [\,2\,]}\) と比較すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}
&=&\displaystyle \frac{\,4\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,4\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{d}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\,\overrightarrow{\rm AE}　\hspace{20pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)

---

したがって、点 \( \rm A~,~E~,~F \) は一直線上にある [終]