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問題｜三角形内部の点の位置ベクトル
平面上のベクトル 50\(\triangle {\rm OAB}\) ( \(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~ \overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\) ) において、辺 \({\rm OA}\) の中点を \(\rm C\)、辺 \({\rm OB}\) を \(1:2\) に内分する点を \(\rm D\) とするとき、2直線 \(\rm AD\) と \(\rm BC\) の交点 \(\rm P\) の位置ベクトル \(\overrightarrow{\rm OP}\) の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
三角形内部の点の位置ベクトル
Point：三角形内部の点の位置ベクトル
① 基本となる2つのベクトルを位置ベクトルでおく。
\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\)
② \(\triangle {\rm OAD}\) において、\({\rm AP:PD}=s:1-s\) として \(\overrightarrow{\rm OP}\) を \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) で表す。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\cdot\overrightarrow{a}
+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s\cdot\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)
③ \(\triangle {\rm OBC}\) において、\({\rm BP:PC}=t:1-t\) として \(\overrightarrow{\rm OP}\) を \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) で表す。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t\cdot\overrightarrow{a}
+(1-t)\cdot\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)
④ \(\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}\) かつ \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) が平行でないことを書き、②と③の式を係数比較して、\(s\) または \(t\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~1-s=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s=1-t\end{eqnarray}\)
三角形内部の点の位置ベクトルは、
① 基本となる2つのベクトルを位置ベクトルでおく。
\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\)
② \(\triangle {\rm OAD}\) において、\({\rm AP:PD}=s:1-s\) として \(\overrightarrow{\rm OP}\) を \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) で表す。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\cdot\overrightarrow{a}
+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s\cdot\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)
③ \(\triangle {\rm OBC}\) において、\({\rm BP:PC}=t:1-t\) として \(\overrightarrow{\rm OP}\) を \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) で表す。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t\cdot\overrightarrow{a}
+(1-t)\cdot\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)
④ \(\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}\) かつ \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) が平行でないことを書き、②と③の式を係数比較して、\(s\) または \(t\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~1-s=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s=1-t\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜三角形内部の点の位置ベクトル
平面上のベクトル 50
\(\triangle {\rm OAB}\) ( \(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~ \overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\) ) において、辺 \({\rm OA}\) の中点を \(\rm C\)、辺 \({\rm OB}\) を \(1:2\) に内分する点を \(\rm D\) とするとき、2直線 \(\rm AD\) と \(\rm BC\) の交点 \(\rm P\) の位置ベクトル \(\overrightarrow{\rm OP}\) の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
\({\rm AP:PD}=s:1-s \) とおくと、
\(\triangle { \rm OAD }\) において、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\cdot\overrightarrow{\rm OA}+s\cdot\overrightarrow{\rm OD}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\overrightarrow{\rm OD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OB}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s\,\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
次に \({\rm BP:PC}=t:1-t\) とおくと、
\(\triangle { \rm OCB }\) において、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&t\cdot\overrightarrow{\rm OC}+(1-t)\cdot\overrightarrow{\rm OB}
\end{eqnarray}\)
ここで、\(\overrightarrow{\rm OC}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OA}
=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{a}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t\,\overrightarrow{a}+(1-t)\,\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}\) かつ \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) が平行でないので、係数を比較すると、
\(\begin{eqnarray}~~~1-s&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t~ ~ ~ ~\,\cdots {\small [\,3\,]}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s&=&1-t~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) より \(t=2-2s\) を \({\small [\,4\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s&=&1-(2-2s)
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s&=&-1+2s
\\[5pt]~~~s&=&-3+6s
\\[5pt]~~~-5s&=&-3
\\[5pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\left(1-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)\overrightarrow{a}
+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\cdot\overrightarrow{b}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\overrightarrow{a}
+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)
※ \(t\) の値を求めて、\({\small [\,2\,]}\) に代入してもよい。
