三角形内部の点の位置ベクトル

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問題アーカイブ07

問題アーカイブ01

問題アーカイブ01\(\triangle {\rm OAB}\) において、辺 \({\rm OA}\) を \(3:2\) に内分する点を \({\rm C}\)、辺 \({\rm OB}\) を \(2:1\) に内分する点を \({\rm D}\) とし、線分 \({\rm AD}\) と線分 \({\rm BC}\) の交点を \({\rm P}\) とする。\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\) とするとき、\(\overrightarrow{\rm OP}\) を \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) を用いて表せ。

数研出版｜数学Ｃ[708] p.36 練習26

\({\rm AP:PD}=s:1-s \) とおくと、

\(\triangle { \rm OAD }\) において、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\cdot\overrightarrow{\rm OA}+s\cdot\overrightarrow{\rm OD}\end{eqnarray}\)

ここで、\(\overrightarrow{\rm OD}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OB}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}s\,\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

次に \({\rm BP:PC}=t:1-t\) とおくと、

\(\triangle { \rm OCB }\) において、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&t\cdot\overrightarrow{\rm OC}+(1-t)\cdot\overrightarrow{\rm OB}\end{eqnarray}\)

ここで、\(\overrightarrow{\rm OC}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{\rm OA}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{a}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}t\,\overrightarrow{a}+(1-t)\,\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、

\(\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}\) かつ \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) が平行でないので、係数を比較すると、

\(\begin{eqnarray}~~~1-s&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}t~ ~ ~ ~\,\cdots {\small [\,3\,]}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}s&=&1-t~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,3\,]}\) より \(t=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}(1-s)\) を \({\small [\,4\,]}\) に代入すると、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}s&=&1-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}(1-s)\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}s&=&1-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}s\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}s&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}s\\[5pt]~~~2s&=&-2+5s\\[5pt]~~~-3s&=&-2\\[5pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\left(1-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\cdot\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\cdot\overrightarrow{b}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\overrightarrow{b}\end{eqnarray}\)

問題アーカイブ02

問題アーカイブ02\(\triangle {\rm OAB}\) において、辺 \({\rm OA}\) を \(3:2\) に内分する点を \({\rm C}\)、辺 \({\rm OB}\) を \(1:2\) に内分する点を \({\rm D}\) とし、線分 \({\rm AD}\) と線分 \({\rm BC}\) の交点を \({\rm P}\) とする。\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\) とするとき、\(\overrightarrow{\rm OP}\) を \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) を用いて表せ。

数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.37 練習31
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.38 練習32

\({\rm AP:PD}=s:1-s \) とおくと、

\(\triangle { \rm OAD }\) において、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\cdot\overrightarrow{\rm OA}+s\cdot\overrightarrow{\rm OD}\end{eqnarray}\)

ここで、\(\overrightarrow{\rm OD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OB}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s\,\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

次に \({\rm BP:PC}=t:1-t\) とおくと、

\(\triangle { \rm OCB }\) において、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&t\cdot\overrightarrow{\rm OC}+(1-t)\cdot\overrightarrow{\rm OB}\end{eqnarray}\)

ここで、\(\overrightarrow{\rm OC}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{\rm OA}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{a}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}t\,\overrightarrow{a}+(1-t)\,\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~1-s&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}t~ ~ ~ ~\,\cdots {\small [\,3\,]}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s&=&1-t~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,3\,]}\) より \(t=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}(1-s)\) を \({\small [\,4\,]}\) に代入すると、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s&=&1-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}(1-s)\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s&=&1-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}s\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}s\\[5pt]~~~s&=&-2+5s\\[5pt]~~~-4s&=&-2\\[5pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\left(1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot\overrightarrow{b}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\overrightarrow{b}\end{eqnarray}\)

問題アーカイブ03

問題アーカイブ03\(\triangle {\rm OAB}\) において、辺 \({\rm OA}\) を \(2:3\) に内分する点を \({\rm C}\)、辺 \({\rm OB}\) を \(1:3\) に内分する点を \({\rm D}\)、辺 \({\rm AB}\) の中点を \({\rm E}\) とし、線分 \({\rm BC}\) と線分 \({\rm ED}\) の交点を \({\rm P}\) とする。\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\) とするとき、\(\overrightarrow{\rm OP}\) を \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) を用いて表せ。

数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.46 問題 8

\({\rm BP:PC}=s:1-s \) とおくと、

\(\triangle { \rm OCB }\) において、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\cdot\overrightarrow{\rm OB}+s\cdot\overrightarrow{\rm OC}\end{eqnarray}\)

ここで、\(\overrightarrow{\rm OC}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\overrightarrow{\rm OA}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\overrightarrow{a}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}s\,\overrightarrow{a}+(1-s)\,\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

次に \({\rm EP:PD}=t:1-t\) とおくと、

\(\triangle { \rm OED }\) において、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-t)\cdot\overrightarrow{\rm OE}+t\cdot\overrightarrow{\rm OD}\end{eqnarray}\)

ここで、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OE}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{b}\end{eqnarray}\)

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{b}\end{eqnarray}\)

これらより、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-t)\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{b}\right)+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}t\,\overrightarrow{b}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(1-t)\,\overrightarrow{a}+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}t\right)\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}s&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(1-t)~ ~ ~ ~\,\cdots {\small [\,3\,]}\\[5pt]~~~1-s&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}t~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,3\,]}\) より \(t=1-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}s\) を \({\small [\,4\,]}\) に代入すると、

\(\begin{eqnarray}~~~1-s&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\left(1-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}s\right)\\[5pt]~~~1-s&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}s\\[5pt]~~~1-s&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}s\\[5pt]~~~1-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}&=&s+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}s\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,5\,}s\\[5pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\cdot\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\\[5pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\cdot\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}\cdot\overrightarrow{a}+\left(1-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,8\,}\right)\overrightarrow{b}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,8\,}\overrightarrow{b}\end{eqnarray}\)

問題アーカイブ04

問題アーカイブ04\(\triangle {\rm OAB}\) において、辺 \({\rm OA}\) を \(2:1\) に内分する点を \({\rm C}\)、辺 \({\rm OB}\) の中点を \({\rm D}\) とし、線分 \({\rm AD}\)、\({\rm BC}\) の交点を \({\rm P}\) とする。実数 \(m~,~n\) を用いて、\(\overrightarrow{\rm OP}=m\,\overrightarrow{\rm OA}+n\,\overrightarrow{\rm OB}\) と表すとき、次の \(\fbox{　}\) に適する数は何か。また、\(m~,~n\) の値を求めよ。
\({\small (1)}~\overrightarrow{\rm OP}=m\,\overrightarrow{\rm OA}+□n\,\overrightarrow{\rm OD}\)
\({\small (2)}~\overrightarrow{\rm OP}=□m\,\overrightarrow{\rm OC}+n\,\overrightarrow{\rm OB}\)

数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.47 章末問題A 6

\({\rm AP:PD}=s:1-s \) とおくと、

\(\triangle { \rm OAD }\) において、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\cdot\overrightarrow{\rm OA}+s\cdot\overrightarrow{\rm OD}\end{eqnarray}\)

ここで、\(\overrightarrow{\rm OD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\,\overrightarrow{\rm OA}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}s\,\overrightarrow{\rm OB}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

\(\overrightarrow{\rm OP}=m\,\overrightarrow{\rm OA}+n\,\overrightarrow{\rm OB}\) と比較すると、

\(\begin{eqnarray}~~~m&=&1-s~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}\\[5pt]~~~n&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}s~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,4\,]}\) より \(s=2n\) なので、\({\small (1)}\) の答えは \(2\)

次に \({\rm BP:PC}=t:1-t\) とおくと、

\(\triangle { \rm OCB }\) において、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&t\cdot\overrightarrow{\rm OC}+(1-t)\cdot\overrightarrow{\rm OB}\end{eqnarray}\)

ここで、\(\overrightarrow{\rm OC}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OA}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}t\,\overrightarrow{\rm OA}+(1-t)\,\overrightarrow{\rm OB}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

\(\overrightarrow{\rm OP}=m\,\overrightarrow{\rm OA}+n\,\overrightarrow{\rm OB}\) と比較すると、

\(\begin{eqnarray}~~~m&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}t~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}\\[5pt]~~~n&=&1-t~ ~ ~ \cdots {\small [\,6\,]}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,5\,]}\) より \(t=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}m\) なので、\({\small (2)}\) の答えは \(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\)

\(m~,~n\) の値を求めると、

\({\small [\,3\,]}~,~{\small [\,4\,]}\) より \(s=2n\) を代入すると、

\(\begin{eqnarray}~~~m&=&1-2n~ ~ ~ \cdots {\small [\,7\,]}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,5\,]}~,~{\small [\,6\,]}\) より \(t=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}m\) を代入すると、

\(\begin{eqnarray}~~~n&=&1-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}m~ ~ ~ \cdots {\small [\,8\,]}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,7\,]}\) を \({\small [\,8\,]}\) に代入すると、

\(\begin{eqnarray}~~~n&=&1-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}(1-2n)\\[5pt]~~~n&=&1-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}+3n\\[5pt]~~~n&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+3n\\[5pt]~~~-2n&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~n&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,7\,]}\) に代入すると、

\(\begin{eqnarray}~~~m&=&1-2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

問題アーカイブ05

問題アーカイブ05\(\triangle {\rm OAB}\) において、辺 \({\rm OA}\) を \(2:1\) に内分する点を \({\rm M}\)、辺 \({\rm OB}\) を \(2:3\) に内分する点を \({\rm N}\) とし、線分 \({\rm AN}\) と線分 \({\rm BM}\) の交点を \({\rm P}\) とする。\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\) として、\(\overrightarrow{\rm OP}\) を \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) で表せ。

東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.31 問6

\({\rm AP:PN}=s:1-s \) とおくと、

\(\triangle { \rm OAN }\) において、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\cdot\overrightarrow{\rm OA}+s\cdot\overrightarrow{\rm ON}\end{eqnarray}\)

ここで、\(\overrightarrow{\rm ON}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\overrightarrow{\rm OB}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\overrightarrow{b}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}s\,\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

次に \({\rm BP:PM}=t:1-t\) とおくと、

\(\triangle { \rm OMB }\) において、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&t\cdot\overrightarrow{\rm OM}+(1-t)\cdot\overrightarrow{\rm OB}\end{eqnarray}\)

ここで、\(\overrightarrow{\rm OM}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OA}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{a}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}t\,\overrightarrow{a}+(1-t)\,\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~1-s&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}t~ ~ ~ ~\,\cdots {\small [\,3\,]}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}s&=&1-t~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,3\,]}\) より \(t=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}(1-s)\) を \({\small [\,4\,]}\) に代入すると、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}s&=&1-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}(1-s)\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}s&=&1-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}s\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}s&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}s\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}s&=&-1+3s\\[5pt]~~~4s&=&-5+15s\\[5pt]~~~-11s&=&-5\\[5pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,11\,}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\left(1-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,11\,}\right)\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\cdot\displaystyle \frac{\,5\,}{\,11\,}\cdot\overrightarrow{b}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,11\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,11\,}\overrightarrow{b}\end{eqnarray}\)

問題アーカイブ06

問題アーカイブ06\(\triangle {\rm OAB}\) において、辺 \({\rm OA}\) を \(3:2\) に内分する点を \({\rm C}\)、辺 \({\rm OB}\) の中点を \({\rm M}\) とし、線分 \({\rm AM}\) と \({\rm BC}\) の交点を \({\rm P}\) とする。\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\) として、\(\overrightarrow{\rm OP}\) を \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) で表せ。

東京書籍｜Standard数学Ｃ[702] p.38 問5

\({\rm AP:PM}=s:1-s \) とおくと、

\(\triangle { \rm OAM }\) において、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\cdot\overrightarrow{\rm OA}+s\cdot\overrightarrow{\rm OM}\end{eqnarray}\)

ここで、\(\overrightarrow{\rm OM}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{b}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}s\,\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

次に \({\rm BP:PC}=t:1-t\) とおくと、

\(\triangle { \rm OCB }\) において、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&t\cdot\overrightarrow{\rm OC}+(1-t)\cdot\overrightarrow{\rm OB}\end{eqnarray}\)

ここで、\(\overrightarrow{\rm OC}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{\rm OA}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{a}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}t\,\overrightarrow{a}+(1-t)\,\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~1-s&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}t~ ~ ~ ~\,\cdots {\small [\,3\,]}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}s&=&1-t~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,3\,]}\) より \(t=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}(1-s)\) を \({\small [\,4\,]}\) に代入すると、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}s&=&1-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}(1-s)\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}s&=&1-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}s\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}s&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}s\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}s-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}s&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,7\,}{\,6\,}s&=&-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\\[5pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\cdot\displaystyle \frac{\,6\,}{\,7\,}\\[5pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\left(1-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}\right)\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot\displaystyle \frac{\,4\,}{\,7\,}\cdot\overrightarrow{b}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,7\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,7\,}\overrightarrow{b}\end{eqnarray}\)

問題アーカイブ07

問題アーカイブ07\(\triangle {\rm OAB}\) において、辺 \({\rm OA}\) を \(2:3\) に内分する点を \({\rm C}\)、辺 \({\rm OB}\) を \(1:3\) に内分する点を \({\rm D}\) とし、線分 \({\rm AD}\) と \({\rm BC}\) の交点を \({\rm P}\) とする。\(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}\) として、\(\overrightarrow{\rm OP}\) を \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) で表せ。

東京書籍｜Standard数学Ｃ[702] p.47 Training 15

\({\rm AP:PD}=s:1-s \) とおくと、

\(\triangle { \rm OAD }\) において、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\cdot\overrightarrow{\rm OA}+s\cdot\overrightarrow{\rm OD}\end{eqnarray}\)

ここで、\(\overrightarrow{\rm OD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{\rm OB}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{b}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}s\,\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

次に \({\rm BP:PC}=t:1-t\) とおくと、

\(\triangle { \rm OCB }\) において、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&t\cdot\overrightarrow{\rm OC}+(1-t)\cdot\overrightarrow{\rm OB}\end{eqnarray}\)

ここで、\(\overrightarrow{\rm OC}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\overrightarrow{\rm OA}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\overrightarrow{a}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}t\,\overrightarrow{a}+(1-t)\,\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、

\(\begin{eqnarray}~~~1-s&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}t~ ~ ~ ~\,\cdots {\small [\,3\,]}\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}s&=&1-t~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,3\,]}\) より \(t=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}(1-s)\) を \({\small [\,4\,]}\) に代入すると、

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}s&=&1-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}(1-s)\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}s&=&1-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}s\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}s&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}s\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}s-\displaystyle \frac{\,5\,}{\,2\,}s&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~-\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}s&=&-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\\[5pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\cdot\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\\[5pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)

\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\left(1-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\cdot\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\cdot\overrightarrow{b}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\overrightarrow{b}\end{eqnarray}\)