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ベクトルの等式と点の位置 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm ABC}\) と点 \({\rm P}\) があり、等式 \(3\overrightarrow{\rm AP}+2\overrightarrow{\rm BP}+\overrightarrow{\rm CP}=\overrightarrow{0}\) が成り立っている。
\({\small (1)}~\)辺 \({\rm BC}\) を \(1:2\) に内分する点を \({\rm Q}\) とすると、点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AQ}\) の中点であることを示せ。
\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm PBC}:\triangle {\rm PCA}:\triangle {\rm PAB}\) を求めよ。
\({\small (1)}~\)辺 \({\rm BC}\) を \(1:2\) に内分する点を \({\rm Q}\) とすると、点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AQ}\) の中点であることを示せ。
\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm PBC}:\triangle {\rm PCA}:\triangle {\rm PAB}\) を求めよ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.48 演習問題A 1
\({\small (1)}~\)\(3\overrightarrow{\rm AP}+2\overrightarrow{\rm BP}+\overrightarrow{\rm CP}=\overrightarrow{0}\) の始点を \({\rm A}\) からにすると、
\(\begin{eqnarray}~3\overrightarrow{\rm AP}+2\overrightarrow{\rm BP}+\overrightarrow{\rm CP}&=&\overrightarrow{0}
\\[5pt]~3\overrightarrow{\rm AP}+2(\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AB})+(\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AC})&=&\overrightarrow{0}
\\[5pt]~3\overrightarrow{\rm AP}+2\overrightarrow{\rm AP}-2\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AC}&=&\overrightarrow{0}
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~6\overrightarrow{\rm AP}-2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}&=&\overrightarrow{0}
\\[5pt]~~~6\overrightarrow{\rm AP}&=&2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
分子の係数の和 \(2+1=3\) を分母分子にかけて、実数倍×内分のベクトルの形に式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3\,}{\, \small \times \,}\frac{\,2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\frac{\,2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,1+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\frac{\,2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,1+2\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、辺 \({\rm BC}\) を \(1:2\) に内分する点を \({\rm Q}\) とすると、\(\overrightarrow{\rm AQ}=\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,1+2\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\,\overrightarrow{\rm AQ}
\end{eqnarray}\)
したがって、
点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AQ}\) の中点である
\({\small (2)}~\)
(1) より、\({\rm BQ}:{\rm QC}=1:2~,~{\rm AP}:{\rm PQ}=1:1\) であるので、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積を \(S\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABQ}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+2\,}S~=~\frac{\,1\,}{\,3\,}S
\\[5pt]~~~\triangle {\rm AQC}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,1+2\,}S~=~\frac{\,2\,}{\,3\,}S
\end{eqnarray}\)
点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AQ}\) の中点であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm PAB}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\triangle {\rm ABQ}~=~\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\frac{\,1\,}{\,3\,}S~=~\frac{\,1\,}{\,6\,}S
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PCA}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\triangle {\rm AQC}~=~\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\frac{\,2\,}{\,3\,}S~=~\frac{\,1\,}{\,3\,}S
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PBC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+1\,}{\triangle {\rm ABC}}~=~\frac{\,1\,}{\,2\,}S
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PCA}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\triangle {\rm AQC}~=~\frac{\,1\,}{\,2\,}{\, \small \times \,}\frac{\,2\,}{\,3\,}S~=~\frac{\,1\,}{\,3\,}S
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PBC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,1+1\,}{\triangle {\rm ABC}}~=~\frac{\,1\,}{\,2\,}S
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\triangle {\rm PBC}:\triangle {\rm PCA}:\triangle {\rm PAB}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}S:\frac{\,1\,}{\,3\,}S:\frac{\,1\,}{\,6\,}S\\[5pt]~~~&=&3:2:1
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\triangle {\rm ABC}\) と点 \({\rm P}\) に対して、等式 \(3\overrightarrow{\rm AP}+4\overrightarrow{\rm BP}+5\overrightarrow{\rm CP}=\overrightarrow{0}\) が成り立つ。
\({\small (1)}~\)点 \({\rm P}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) に対してどのような位置にあるか。
\({\small (2)}~\)面積の比 \(\triangle {\rm PBC}:\triangle {\rm PCA}:\triangle {\rm PAB}\) を求めよ。
\({\small (1)}~\)点 \({\rm P}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) に対してどのような位置にあるか。
\({\small (2)}~\)面積の比 \(\triangle {\rm PBC}:\triangle {\rm PCA}:\triangle {\rm PAB}\) を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.48 章末問題B 7
\({\small (1)}~\)\(3\overrightarrow{\rm AP}+4\overrightarrow{\rm BP}+5\overrightarrow{\rm CP}=\overrightarrow{0}\) の始点を \({\rm A}\) からにすると、
\(\begin{eqnarray}~3\overrightarrow{\rm AP}+4\overrightarrow{\rm BP}+5\overrightarrow{\rm CP}&=&\overrightarrow{0}
\\[5pt]~3\overrightarrow{\rm AP}+4(\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AB})+5(\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AC})&=&\overrightarrow{0}
\\[5pt]~3\overrightarrow{\rm AP}+4\overrightarrow{\rm AP}-4\overrightarrow{\rm AB}+5\overrightarrow{\rm AP}-5\overrightarrow{\rm AC}&=&\overrightarrow{0}
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~12\overrightarrow{\rm AP}-4\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{c}&=&\overrightarrow{0}
\\[5pt]~~~12\overrightarrow{\rm AP}&=&4\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,4\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\,}{\,12\,}
\end{eqnarray}\)
分子の係数の和 \(4+5=9\) を分母分子にかけて、実数倍×内分のベクトルの形に式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,9\,}{\, \small \times \,}\frac{\,4\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,9\,}{\,12\,}{\, \small \times \,}\frac{\,4\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\,}{\,4+5\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\frac{\,4\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\,}{\,4+5\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、辺 \({\rm BC}\) を \(5:4\) に内分する点を \({\rm D}\) とすると、\(\overrightarrow{\rm AD}=\displaystyle \frac{\,4\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c}\,}{\,4+5\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\,\overrightarrow{\rm AD}
\end{eqnarray}\)
したがって、
点 \({\rm P}\) は、辺 \({\rm BC}\) を \(5:4\) に内分する点を \({\rm D}\) としたとき、線分 \({\rm AD}\) を \(3:1\) に内分する点である
\({\small (2)}~\)
(1) より、\({\rm BD}:{\rm DC}=5:4~,~{\rm AP}:{\rm PD}=3:1\) であるので、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積を \(S\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABD}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5+4\,}S~=~\frac{\,5\,}{\,9\,}S
\\[5pt]~~~\triangle {\rm ADC}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5+4\,}S~=~\frac{\,4\,}{\,9\,}S
\end{eqnarray}\)
点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AD}\) を \(3:1\) に内分する点であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm PAB}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\triangle {\rm ABD}~=~\frac{\,3\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\frac{\,5\,}{\,9\,}S~=~\frac{\,5\,}{\,12\,}S
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PCA}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\triangle {\rm ADC}~=~\frac{\,3\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\frac{\,4\,}{\,9\,}S~=~\frac{\,1\,}{\,3\,}S
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PBC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3+1\,}{\triangle {\rm ABC}}~=~\frac{\,1\,}{\,4\,}S
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PCA}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,4\,}\triangle {\rm ADC}~=~\frac{\,3\,}{\,4\,}{\, \small \times \,}\frac{\,4\,}{\,9\,}S~=~\frac{\,1\,}{\,3\,}S
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PBC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3+1\,}{\triangle {\rm ABC}}~=~\frac{\,1\,}{\,4\,}S
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\triangle {\rm PBC}:\triangle {\rm PCA}:\triangle {\rm PAB}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}S:\frac{\,1\,}{\,3\,}S:\frac{\,5\,}{\,12\,}S\\[5pt]~~~&=&3:4:5
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(\triangle {\rm ABC}\) と点 \({\rm P}\) があり、\(3\overrightarrow{\rm AP}+5\overrightarrow{\rm BP}+7\overrightarrow{\rm CP}=\overrightarrow{0}\) を満たしている。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) として、\(\overrightarrow{\rm AP}\) を \(\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\) で表せ。
\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm PBC}~,~\triangle {\rm PCA}~,~\triangle {\rm PAB}\) の面積の比を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) として、\(\overrightarrow{\rm AP}\) を \(\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\) で表せ。
\({\small (2)}~\)\(\triangle {\rm PBC}~,~\triangle {\rm PCA}~,~\triangle {\rm PAB}\) の面積の比を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.32 問7
\({\small (1)}~\)\(3\overrightarrow{\rm AP}+5\overrightarrow{\rm BP}+7\overrightarrow{\rm CP}=\overrightarrow{0}\) の始点を \({\rm A}\) からにすると、
\(\begin{eqnarray}~3\overrightarrow{\rm AP}+5\overrightarrow{\rm BP}+7\overrightarrow{\rm CP}&=&\overrightarrow{0}
\\[5pt]~3\overrightarrow{\rm AP}+5(\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AB})+7(\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AC})&=&\overrightarrow{0}
\\[5pt]~3\overrightarrow{\rm AP}+5\overrightarrow{\rm AP}-5\overrightarrow{\rm AB}+7\overrightarrow{\rm AP}-7\overrightarrow{\rm AC}&=&\overrightarrow{0}
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~15\overrightarrow{\rm AP}-5\overrightarrow{b}-7\overrightarrow{c}&=&\overrightarrow{0}
\\[5pt]~~~15\overrightarrow{\rm AP}&=&5\overrightarrow{b}+7\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\overrightarrow{\rm AP}=\displaystyle \frac{\,5\overrightarrow{b}+7\overrightarrow{c}\,}{\,15\,}\)
\({\small (2)}~\)分子の係数の和 \(5+7=12\) を分母分子にかけて、実数倍×内分のベクトルの形に式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,12\,}{\, \small \times \,}\frac{\,5\overrightarrow{b}+7\overrightarrow{c}\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,12\,}{\,15\,}{\, \small \times \,}\frac{\,5\overrightarrow{b}+7\overrightarrow{c}\,}{\,5+7\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\frac{\,5\overrightarrow{b}+7\overrightarrow{c}\,}{\,5+7\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、辺 \({\rm BC}\) を \(7:5\) に内分する点を \({\rm D}\) とすると、\(\overrightarrow{\rm AD}=\displaystyle \frac{\,5\overrightarrow{b}+7\overrightarrow{c}\,}{\,5+7\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\,\overrightarrow{\rm AD}
\end{eqnarray}\)
よって、\({\rm BD}:{\rm DC}=7:5~,~{\rm AP}:{\rm PD}=4:1\) であるので、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積を \(S\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABD}&=&\displaystyle \frac{\,7\,}{\,7+5\,}S~=~\frac{\,7\,}{\,12\,}S
\\[5pt]~~~\triangle {\rm ADC}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,7+5\,}S~=~\frac{\,5\,}{\,12\,}S
\end{eqnarray}\)
点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AD}\) を \(4:1\) に内分する点であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm PAB}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\triangle {\rm ABD}~=~\frac{\,4\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\frac{\,7\,}{\,12\,}S~=~\frac{\,7\,}{\,15\,}S
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PCA}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\triangle {\rm ADC}~=~\frac{\,4\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\frac{\,5\,}{\,12\,}S~=~\frac{\,1\,}{\,3\,}S
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PBC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4+1\,}{\triangle {\rm ABC}}~=~\frac{\,1\,}{\,5\,}S
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PCA}&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,5\,}\triangle {\rm ADC}~=~\frac{\,4\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\frac{\,5\,}{\,12\,}S~=~\frac{\,1\,}{\,3\,}S
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PBC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4+1\,}{\triangle {\rm ABC}}~=~\frac{\,1\,}{\,5\,}S
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\triangle {\rm PBC}:\triangle {\rm PCA}:\triangle {\rm PAB}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}S:\frac{\,1\,}{\,3\,}S:\frac{\,7\,}{\,15\,}S\\[5pt]~~~&=&3:5:7
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04\(\triangle {\rm ABC}\) と点 \({\rm P}\) があり、\(l\overrightarrow{\rm AP}+m\overrightarrow{\rm BP}+n\overrightarrow{\rm CP}=\overrightarrow{0}\) を満たしている。ここで、\(l~,~m~,~n\) は実数とする。
\({\small (1)}~\)\(l~,~m~,~n\) がすべて正のとき、点 \({\rm P}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の内部にあることを示せ。
\({\small (2)}~\)\(l~,~m~,~n\) がすべて正で、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積が \(1\) であるとき、\(\triangle {\rm PBC}~,~\triangle {\rm PCA}~,~\triangle {\rm PAB}\) の面積をそれぞれ求めよ。
\({\small (1)}~\)\(l~,~m~,~n\) がすべて正のとき、点 \({\rm P}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の内部にあることを示せ。
\({\small (2)}~\)\(l~,~m~,~n\) がすべて正で、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積が \(1\) であるとき、\(\triangle {\rm PBC}~,~\triangle {\rm PCA}~,~\triangle {\rm PAB}\) の面積をそれぞれ求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.44 問題 10
\({\small (1)}~\)\(l\overrightarrow{\rm AP}+m\overrightarrow{\rm BP}+n\overrightarrow{\rm CP}=\overrightarrow{0}\) の始点を \({\rm A}\) からにすると、
\(\begin{eqnarray}~l\overrightarrow{\rm AP}+m\overrightarrow{\rm BP}+n\overrightarrow{\rm CP}&=&\overrightarrow{0}
\\[5pt]~l\overrightarrow{\rm AP}+m(\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AB})+n(\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AC})&=&\overrightarrow{0}
\\[5pt]~l\overrightarrow{\rm AP}+m\overrightarrow{\rm AP}-m\overrightarrow{\rm AB}+n\overrightarrow{\rm AP}-n\overrightarrow{\rm AC}&=&\overrightarrow{0}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~l\overrightarrow{\rm AP}+m(\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AB})+n(\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AC})&=&\overrightarrow{0}
\\[5pt]~l\overrightarrow{\rm AP}+m\overrightarrow{\rm AP}-m\overrightarrow{\rm AB}+n\overrightarrow{\rm AP}-n\overrightarrow{\rm AC}&=&\overrightarrow{0}
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~(l+m+n)\overrightarrow{\rm AP}-m\overrightarrow{b}-n\overrightarrow{c}&=&\overrightarrow{0}
\\[5pt]~(l+m+n)\overrightarrow{\rm AP}&=&m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}\,}{\,l+m+n\,}
\end{eqnarray}\)
分子の係数の和 \(m+n\) を分母分子にかけて、実数倍×内分のベクトルの形に式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~\overrightarrow{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,m+n\,}{\,m+n\,}{\, \small \times \,}\frac{\,m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}\,}{\,l+m+n\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,m+n\,}{\,l+m+n\,}{\, \small \times \,}\frac{\,m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}\,}{\,m+n\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、辺 \({\rm BC}\) を \(n:m\) に内分する点を \({\rm Q}\) とすると、\(\overrightarrow{\rm AQ}=\displaystyle \frac{\,m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}\,}{\,m+n\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,m+n\,}{\,l+m+n\,}\,\overrightarrow{\rm AQ}
\end{eqnarray}\)
\(l~,~m~,~n\) がすべて正のとき、
\(n\gt 0~,~m\gt 0\) より、点 \({\rm Q}\) は辺 \({\rm BC}\) 上にある（\({\rm B}\) と \({\rm C}\) の間）
また、\(l\gt 0~,~m+n\gt 0\) より、
\(0\lt \displaystyle \frac{\,m+n\,}{\,l+m+n\,}\lt 1\)
点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AQ}\) 上にある（\({\rm A}\) と \({\rm Q}\) の間）
したがって、
点 \({\rm P}\) は \(\triangle {\rm ABC}\) の内部にある
\({\small (2)}~\)
\({\rm BQ}:{\rm QC}=n:m~,~{\rm AP}:{\rm PQ}=(m+n):l\) であるので、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積を \(1\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABQ}&=&\displaystyle \frac{\,n\,}{\,m+n\,}
\\[5pt]~~~\triangle {\rm AQC}&=&\displaystyle \frac{\,m\,}{\,m+n\,}
\end{eqnarray}\)
点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AQ}\) を \((m+n):l\) に内分する点であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm PAB}&=&\displaystyle \frac{\,m+n\,}{\,l+m+n\,}\triangle {\rm ABQ}~=~\frac{\,m+n\,}{\,l+m+n\,}{\, \small \times \,}\frac{\,n\,}{\,m+n\,}~=~\frac{\,n\,}{\,l+m+n\,}
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PCA}&=&\displaystyle \frac{\,m+n\,}{\,l+m+n\,}\triangle {\rm AQC}~=~\frac{\,m+n\,}{\,l+m+n\,}{\, \small \times \,}\frac{\,m\,}{\,m+n\,}~=~\frac{\,m\,}{\,l+m+n\,}
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PBC}&=&\displaystyle \frac{\,l\,}{\,l+m+n\,}{\triangle {\rm ABC}}~=~\frac{\,l\,}{\,l+m+n\,}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PCA}&=&\displaystyle \frac{\,m+n\,}{\,l+m+n\,}\triangle {\rm AQC}~=~\frac{\,m+n\,}{\,l+m+n\,}{\, \small \times \,}\frac{\,m\,}{\,m+n\,}~=~\frac{\,m\,}{\,l+m+n\,}
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PBC}&=&\displaystyle \frac{\,l\,}{\,l+m+n\,}{\triangle {\rm ABC}}~=~\frac{\,l\,}{\,l+m+n\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm PBC}&=&\displaystyle \frac{\,l\,}{\,l+m+n\,}
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PCA}&=&\displaystyle \frac{\,m\,}{\,l+m+n\,}
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PAB}&=&\displaystyle \frac{\,n\,}{\,l+m+n\,}
\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05\(\triangle {\rm ABC}\) と点 \({\rm P}\) があり、次の式を満たしているとき、次の問に答えよ。
\(\overrightarrow{\rm AP}+2\overrightarrow{\rm BP}+3\overrightarrow{\rm CP}=\overrightarrow{0}\)
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) として、\(\overrightarrow{\rm AP}\) を \(\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\) で表せ。
\({\small (2)}~\)2直線 \({\rm AP}~,~{\rm BC}\) の交点を \({\rm Q}\) とする。点 \({\rm Q}\) は線分 \({\rm BC}\) をどのような比に内分するか。また、点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AQ}\) をどのような比に内分するか。
\({\small (3)}~\)\(\triangle {\rm PBC}~,~\triangle {\rm PCA}~,~\triangle {\rm PAB}\) の面積の比を求めよ。
\(\overrightarrow{\rm AP}+2\overrightarrow{\rm BP}+3\overrightarrow{\rm CP}=\overrightarrow{0}\)
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) として、\(\overrightarrow{\rm AP}\) を \(\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}\) で表せ。
\({\small (2)}~\)2直線 \({\rm AP}~,~{\rm BC}\) の交点を \({\rm Q}\) とする。点 \({\rm Q}\) は線分 \({\rm BC}\) をどのような比に内分するか。また、点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AQ}\) をどのような比に内分するか。
\({\small (3)}~\)\(\triangle {\rm PBC}~,~\triangle {\rm PCA}~,~\triangle {\rm PAB}\) の面積の比を求めよ。
東京書籍｜Standard数学Ｃ[702] p.68 Level Up 6
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm AP}+2\overrightarrow{\rm BP}+3\overrightarrow{\rm CP}=\overrightarrow{0}\) の始点を \({\rm A}\) からにすると、
\(\begin{eqnarray}~\overrightarrow{\rm AP}+2\overrightarrow{\rm BP}+3\overrightarrow{\rm CP}&=&\overrightarrow{0}
\\[5pt]~\overrightarrow{\rm AP}+2(\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AB})+3(\overrightarrow{\rm AP}-\overrightarrow{\rm AC})&=&\overrightarrow{0}
\\[5pt]~\overrightarrow{\rm AP}+2\overrightarrow{\rm AP}-2\overrightarrow{\rm AB}+3\overrightarrow{\rm AP}-3\overrightarrow{\rm AC}&=&\overrightarrow{0}
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~6\overrightarrow{\rm AP}-2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}&=&\overrightarrow{0}
\\[5pt]~6\overrightarrow{\rm AP}&=&2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\overrightarrow{\rm AP}=\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\,}{\,6\,}\)
\({\small (2)}~\)分子の係数の和 \(2+3=5\) を分母分子にかけて、実数倍×内分のベクトルの形に式変形すると、
\(\begin{eqnarray}~\overrightarrow{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\frac{\,2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\frac{\,2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\,}{\,2+3\,}
\end{eqnarray}\)
ここで、辺 \({\rm BC}\) を \(3:2\) に内分する点を \({\rm Q}\) とすると、\(\overrightarrow{\rm AQ}=\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\,}{\,2+3\,}\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\,\overrightarrow{\rm AQ}
\end{eqnarray}\)
したがって、
点 \({\rm Q}\) は線分 \({\rm BC}\) を \(3:2\) に内分し、点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AQ}\) を \(5:1\) に内分する
\({\small (3)}~\)よって、\({\rm BQ}:{\rm QC}=3:2~,~{\rm AP}:{\rm PQ}=5:1\) であるので、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積を \(S\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABQ}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3+2\,}S~=~\frac{\,3\,}{\,5\,}S
\\[5pt]~~~\triangle {\rm AQC}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3+2\,}S~=~\frac{\,2\,}{\,5\,}S
\end{eqnarray}\)
点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm AQ}\) を \(5:1\) に内分する点であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm PAB}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\triangle {\rm ABQ}~=~\frac{\,5\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\frac{\,3\,}{\,5\,}S~=~\frac{\,1\,}{\,2\,}S
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PCA}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\triangle {\rm AQC}~=~\frac{\,5\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\frac{\,2\,}{\,5\,}S~=~\frac{\,1\,}{\,3\,}S
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PBC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5+1\,}{\triangle {\rm ABC}}~=~\frac{\,1\,}{\,6\,}S
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PCA}&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,6\,}\triangle {\rm AQC}~=~\frac{\,5\,}{\,6\,}{\, \small \times \,}\frac{\,2\,}{\,5\,}S~=~\frac{\,1\,}{\,3\,}S
\\[5pt]~~~\triangle {\rm PBC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5+1\,}{\triangle {\rm ABC}}~=~\frac{\,1\,}{\,6\,}S
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&\triangle {\rm PBC}:\triangle {\rm PCA}:\triangle {\rm PAB}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}S:\frac{\,1\,}{\,3\,}S:\frac{\,1\,}{\,2\,}S\\[5pt]~~~&=&1:2:3
\end{eqnarray}\)
