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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm ABC}\) の外心を \({\rm O}\) とし、辺 \({\rm AB}\) の中点を \({\rm D}\)、\(\triangle {\rm ACD}\) の重心を \({\rm E}\) とする。\({\rm AB}={\rm AC}\) ならば \(\overrightarrow{\rm CD}\cdot\overrightarrow{\rm OE}=0\) であることを証明せよ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.48 演習問題B 6
[証明] \(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}\) とおくと、
点 \({\rm O}\) は外心であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|=|\,\overrightarrow{b}\,|=|\,\overrightarrow{c}\,|~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\({\rm AB}={\rm AC}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\,|&=&|\,\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}\,|
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\,|^{2}&=&|\,\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}\,|^{2}
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}&=&|\,\overrightarrow{c}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\,|^{2}&=&|\,\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a}\,|^{2}
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}&=&|\,\overrightarrow{c}\,|^{2}-2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
次に、点 \({\rm D}\) は辺 \({\rm AB}\) の中点であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OD}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
点 \({\rm E}\) は \(\triangle {\rm ACD}\) の重心であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OE}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OC}+\overrightarrow{\rm OD}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}+\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,2\,}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\,\overrightarrow{c}\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
また、\(\overrightarrow{\rm CD}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm CD}&=&\overrightarrow{\rm OD}-\overrightarrow{\rm OC}
\\[3pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,2\,}-\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\,\overrightarrow{c}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
よって、内積を計算すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm CD}\cdot\overrightarrow{\rm OE}
&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\,\overrightarrow{c}\,}{\,2\,}\cdot\displaystyle \frac{\,3\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\,\overrightarrow{c}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\,\overrightarrow{c})\cdot(3\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\,\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(3\,|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+3\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}-6\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}-2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}-4\,|\,\overrightarrow{c}\,|^{2})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(3\,|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}-4\,|\,\overrightarrow{c}\,|^{2}+4\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-4\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})
\end{eqnarray}\)
&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\,\overrightarrow{c}\,}{\,2\,}\cdot\displaystyle \frac{\,3\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\,\overrightarrow{c}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\,\overrightarrow{c})\cdot(3\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\,\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(3\,|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+2\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}+3\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}+2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}-6\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}-2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}-4\,|\,\overrightarrow{c}\,|^{2})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(3\,|\,\overrightarrow{a}\,|^{2}+|\,\overrightarrow{b}\,|^{2}-4\,|\,\overrightarrow{c}\,|^{2}+4\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-4\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,12\,}(4\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-4\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&0\hspace{25pt}(\,∵~ {\small [\,2\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overrightarrow{\rm CD}\cdot\overrightarrow{\rm OE}=0\) [終]
