このページは、「中線定理のベクトルでの証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm ABC}\) について、次が成り立つことをベクトルを用いて証明せよ。
\({\small (2)}~\) 辺 \({\rm BC}\) を \(m:n\) に内分する点を \({\rm P}\) としたとき、
\(\begin{eqnarray}~~~&&n\,{\rm AB^2}+m\,{\rm AC^2}\\[3pt]~~~&=&(m+n){\rm AP^2}+n\,{\rm BP^2}+m\,{\rm CP^2}\end{eqnarray}\)
\({\small (2)}~\) 辺 \({\rm BC}\) を \(m:n\) に内分する点を \({\rm P}\) としたとき、
\(\begin{eqnarray}~~~&&n\,{\rm AB^2}+m\,{\rm AC^2}\\[3pt]~~~&=&(m+n){\rm AP^2}+n\,{\rm BP^2}+m\,{\rm CP^2}\end{eqnarray}\)
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.68 練習問題A 3(2)
[証明] \(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~n\,| \overrightarrow{\rm AB} |^2+m\,| \overrightarrow{\rm AC} |^2=n\,| \overrightarrow{b} |^2+m\,| \overrightarrow{c} |^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\end{eqnarray}\)
また、\( \overrightarrow{\rm AP} \) は内分点の公式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\displaystyle \frac{\,n\,\overrightarrow{b}+m\,\overrightarrow{c}\,}{\,m+n\,}
\end{eqnarray}\)
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~| \overrightarrow{\rm AP} |^2
&=&\left| \displaystyle \frac{\,n\,\overrightarrow{b}+m\,\overrightarrow{c}\,}{\,m+n\,} \right|^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(m+n)^2\,}\,| n\,\overrightarrow{b}+m\,\overrightarrow{c} |^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(m+n)^2\,}\,(n\,\overrightarrow{b}+m\,\overrightarrow{c})\cdot(n\,\overrightarrow{b}+m\,\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(m+n)^2\,}\,( n^2\,| \overrightarrow{b} |^2 + 2mn\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + m^2\,| \overrightarrow{c} |^2 )
\end{eqnarray}\)
&=&\left| \displaystyle \frac{\,n\,\overrightarrow{b}+m\,\overrightarrow{c}\,}{\,m+n\,} \right|^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(m+n)^2\,}\,| n\,\overrightarrow{b}+m\,\overrightarrow{c} |^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(m+n)^2\,}\,(n\,\overrightarrow{b}+m\,\overrightarrow{c})\cdot(n\,\overrightarrow{b}+m\,\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,(m+n)^2\,}\,( n^2\,| \overrightarrow{b} |^2 + 2mn\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + m^2\,| \overrightarrow{c} |^2 )
\end{eqnarray}\)
次に、\( \overrightarrow{\rm BP}=\displaystyle \frac{\,m\,}{\,m+n\,}\overrightarrow{\rm BC} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BP}&=&\displaystyle \frac{\,m\,}{\,m+n\,}(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~| \overrightarrow{\rm BP} |^2
&=&\left| \displaystyle \frac{\,m\,(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\,}{\,m+n\,} \right|^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,m^2\,}{\,(m+n)^2\,}\,| \overrightarrow{c}-\overrightarrow{b} |^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,m^2\,}{\,(m+n)^2\,}\,(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\cdot(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,m^2\,}{\,(m+n)^2\,}\,( | \overrightarrow{c} |^2 – 2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + | \overrightarrow{b} |^2 )
\end{eqnarray}\)
次に、\( \overrightarrow{\rm CP}=\displaystyle \frac{\,n\,}{\,m+n\,}\overrightarrow{\rm CB} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm CP}&=&\displaystyle \frac{\,n\,}{\,m+n\,}(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~| \overrightarrow{\rm CP} |^2
&=&\left| \displaystyle \frac{\,n\,(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\,}{\,m+n\,} \right|^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n^2\,}{\,(m+n)^2\,}\,| \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} |^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n^2\,}{\,(m+n)^2\,}\,(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,n^2\,}{\,(m+n)^2\,}\,( | \overrightarrow{b} |^2 – 2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + | \overrightarrow{c} |^2 )
\end{eqnarray}\)
以上より、右辺は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&(m+n)| \overrightarrow{\rm AP} |^2 + n\,| \overrightarrow{\rm BP} |^2 + m\,| \overrightarrow{\rm CP} |^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m+n\,}\,( n^2\,| \overrightarrow{b} |^2 + 2mn\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + m^2\,| \overrightarrow{c} |^2 )+ \frac{\,nm^2\,}{\,(m+n)^2\,}\,( | \overrightarrow{b} |^2 – 2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + | \overrightarrow{c} |^2 )+ \frac{\,mn^2\,}{\,(m+n)^2\,}\,( | \overrightarrow{b} |^2 – 2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + | \overrightarrow{c} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m+n\,}\,( n^2\,| \overrightarrow{b} |^2 + 2mn\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + m^2\,| \overrightarrow{c} |^2 )+ \frac{\,mn\,}{\,m+n\,}\,( | \overrightarrow{b} |^2 – 2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + | \overrightarrow{c} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m+n\,}\,( n^2\,| \overrightarrow{b} |^2 + 2mn\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + m^2\,| \overrightarrow{c} |^2+ mn\,| \overrightarrow{b} |^2 – 2mn\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + mn\,| \overrightarrow{c} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m+n\,}\,\left\{(n^2+mn)\,| \overrightarrow{b} |^2 + (m^2+mn)\,| \overrightarrow{c} |^2\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m+n\,}\,\left\{n(m+n)\,| \overrightarrow{b} |^2 + m(m+n)\,| \overrightarrow{c} |^2\right\}
\\[5pt]~~~&=&n\,| \overrightarrow{b} |^2 + m\,| \overrightarrow{c} |^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m+n\,}\,( n^2\,| \overrightarrow{b} |^2 + 2mn\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + m^2\,| \overrightarrow{c} |^2 )+ \frac{\,nm^2\,}{\,(m+n)^2\,}\,( | \overrightarrow{b} |^2 – 2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + | \overrightarrow{c} |^2 )+ \frac{\,mn^2\,}{\,(m+n)^2\,}\,( | \overrightarrow{b} |^2 – 2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + | \overrightarrow{c} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m+n\,}\,( n^2\,| \overrightarrow{b} |^2 + 2mn\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + m^2\,| \overrightarrow{c} |^2 )+ \frac{\,mn\,}{\,m+n\,}\,( | \overrightarrow{b} |^2 – 2\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + | \overrightarrow{c} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m+n\,}\,( n^2\,| \overrightarrow{b} |^2 + 2mn\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + m^2\,| \overrightarrow{c} |^2+ mn\,| \overrightarrow{b} |^2 – 2mn\,\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} + mn\,| \overrightarrow{c} |^2 )
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m+n\,}\,\left\{(n^2+mn)\,| \overrightarrow{b} |^2 + (m^2+mn)\,| \overrightarrow{c} |^2\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,m+n\,}\,\left\{n(m+n)\,| \overrightarrow{b} |^2 + m(m+n)\,| \overrightarrow{c} |^2\right\}
\\[5pt]~~~&=&n\,| \overrightarrow{b} |^2 + m\,| \overrightarrow{c} |^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~&&n\,| \overrightarrow{\rm AB} |^2+m\,| \overrightarrow{\rm AC} |^2
\\[3pt]~~~&=&(m+n)| \overrightarrow{\rm AP} |^2+n\,| \overrightarrow{\rm BP} |^2+m\,| \overrightarrow{\rm CP} |^2
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~&&n\,{\rm AB^2}+m\,{\rm AC^2}\\[3pt]~~~&=&(m+n){\rm AP^2}+n\,{\rm BP^2}+m\,{\rm CP^2}\end{eqnarray}\)
[終]
