- 数学C｜平面上のベクトル「s+2t=1を満たす点の存在範囲」の基本例題解説ページです。
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問題｜s+2t=1を満たす点の存在範囲
高校数学C｜平面上のベクトル
解法のPoint
s+2t=1を満たす点の存在範囲
\(\triangle {\rm OAB}\) に対して、\(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}~,~s+2t=1\) のとき、
① \(\overrightarrow{\rm OP}\) の係数の和が \(1\) となるように、\(t^{\prime}\) をおく。
\(2t=t^{\prime}\) とおくと、\(s+t^{\prime}=1\)
② \(\overrightarrow{\rm OP}\) の式の係数が \(s~,~t^{\prime}\) となるように、新たに点 \(\rm B^{\prime}\) をとる。
\(\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&s\overrightarrow{\rm OA}+t^{\prime}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}\right)
\\[5pt]~~~&=&s\overrightarrow{\rm OA}+t^{\prime}\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}
\end{eqnarray}\)
③ 新たな点 \({\rm B^{\prime}}\) を用いて、点 \(\rm P\) の存在範囲を求める。
\(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t^{\prime}\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}~,~s+t^{\prime}=1\) より、
点 \(\rm P\) の存在範囲は直線 \(\rm AB^{\prime}\) となる。
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詳しい解説｜s+2t=1を満たす点の存在範囲
\(\triangle {\rm OAB}\) に対して、点 \(\rm P\) が等式 \(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}~,~s+2t=1\) を満たすときの点 \(\rm P\) の存在範囲の求め方は？
高校数学C｜平面上のベクトル
\(s+2t=1\) より、\(2t=t^{\prime}\) とおくと、
\(~~~s+t^{\prime}=1\)
\(t=\displaystyle \frac{\,t^{\prime}\,}{\,2\,}\) より、\(\overrightarrow{\rm OP}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&s\overrightarrow{\rm OA}+\displaystyle \frac{\,t^{\prime}\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&s\overrightarrow{\rm OA}+t^{\prime}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}\right)
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}\) を満たす点 \({\rm B^{\prime}}\) をおくと、
\(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t^{\prime}\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}~,~s+t^{\prime}=1\)
これより、点 \(\rm P\) の存在範囲は直線 \(\rm AB^{\prime}\) となる
