このページは、「s+2t=1を満たす点の存在範囲」の練習問題アーカイブページとなります。
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s+2t=1を満たす点の存在範囲 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\triangle {\rm OAB}\) に対して、点 \({\rm P}\) が次の条件を満たしながら動くとき、点 \({\rm P}\) の存在範囲を求めよ。
\(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}~,~\)\(s+2t=1~,~\)\(s{\small ~≧~}0~,~\)\(t{\small ~≧~}0\)
\(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}~,~\)\(s+2t=1~,~\)\(s{\small ~≧~}0~,~\)\(t{\small ~≧~}0\)
数研出版｜数学Ｃ[708] p.47 問題 12
\(s+2t=1\) より、\(2t=t^{\prime}\) とおくと、
\(~~~s+t^{\prime}=1\)
\(t=\displaystyle \frac{\,t^{\prime}\,}{\,2\,}\) より、\(\overrightarrow{\rm OP}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&s\overrightarrow{\rm OA}+\displaystyle \frac{\,t^{\prime}\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&s\overrightarrow{\rm OA}+t^{\prime}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}\right)
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}\) を満たす点 \({\rm B^{\prime}}\) をおくと、
また、\(s{\small ~≧~}0~,~t{\small ~≧~}0\) より、\(t^{\prime}=2t{\small ~≧~}0\)
\(\begin{eqnarray}&&\overrightarrow{\rm OP}=s^{\prime}\overrightarrow{\rm OA^{\prime}}+t^{\prime}\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}
\\[3pt]&&s+t^{\prime}=1~,~s{\small ~≧~}0~,~t^{\prime}{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
これより、点 \(\rm P\) の存在範囲は線分 \(\rm AB^{\prime}\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\triangle {\rm OAB}\) において、次の式を満たす点 \({\rm P}\) の存在範囲を求めよ。
\({\small (1)}~\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+2t\overrightarrow{\rm OB}~,~\)\(s+t=1~,~\)\(s{\small ~≧~}0~,~\)\(t{\small ~≧~}0\)
\({\small (2)}~\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}~,~\)\(0{\small ~≦~}3s+2t{\small ~≦~}1~,~\)\(s{\small ~≧~}0~,~\)\(t{\small ~≧~}0\)
\({\small (1)}~\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+2t\overrightarrow{\rm OB}~,~\)\(s+t=1~,~\)\(s{\small ~≧~}0~,~\)\(t{\small ~≧~}0\)
\({\small (2)}~\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}~,~\)\(0{\small ~≦~}3s+2t{\small ~≦~}1~,~\)\(s{\small ~≧~}0~,~\)\(t{\small ~≧~}0\)
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.48 章末問題B 10
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}=2\overrightarrow{\rm OB}\) を満たす点 \({\rm B^{\prime}}\) をおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&s\overrightarrow{\rm OA}+2t\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&s\overrightarrow{\rm OA}+t\cdot 2\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}~,~s+t=1~,~s{\small ~≧~}0~,~t{\small ~≧~}0\)
これより、点 \(\rm P\) の存在範囲は線分 \(\rm AB^{\prime}\) となる
\({\small (2)}~\)\(3s+2t=1\) より、\(3s=s^{\prime}~,~2t=t^{\prime}\) とおくと、
\(~~~s^{\prime}+t^{\prime}=1\)
また、\(s=\displaystyle \frac{\,s^{\prime}\,}{\,3\,}~,~t=\displaystyle \frac{\,t^{\prime}\,}{\,2\,}\) より、
\(~s^{\prime}{\small ~≧~}0~,~t^{\prime}{\small ~≧~}0\)
\(s=\displaystyle \frac{\,s^{\prime}\,}{\,3\,}~,~t=\displaystyle \frac{\,t^{\prime}\,}{\,2\,}\) より、\(\overrightarrow{\rm OP}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,s^{\prime}\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OA}+\displaystyle \frac{\,t^{\prime}\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&s^{\prime}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OA}\right)+t^{\prime}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}\right)
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm OA^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OA}~,~\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}\) を満たす点 \({\rm A^{\prime}}~,~{\rm B^{\prime}}\) をおくと、
\(\begin{eqnarray}&&\overrightarrow{\rm OP}=s^{\prime}\overrightarrow{\rm OA^{\prime}}+t^{\prime}\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}
\\[3pt]&&0{\small ~≦~}s^{\prime}+t^{\prime}{\small ~≦~}1~,~s^{\prime}{\small ~≧~}0~,~t^{\prime}{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
これより、点 \(\rm P\) の存在範囲は \(\triangle {\rm OA^{\prime}B^{\prime}}\) の周および内部となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\(\triangle {\rm OAB}\) に対して、\(\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}\) とおく。実数 \(s~,~t\) が次の条件を満たしながら変化するとき、点 \({\rm P}\) の存在する範囲を求めよ。
\(s{\small ~≧~}0~,~\)\(t{\small ~≧~}0\)\(~,~s+2t{\small ~≦~}1\)
\(s{\small ~≧~}0~,~\)\(t{\small ~≧~}0\)\(~,~s+2t{\small ~≦~}1\)
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.44 問題 11(2)
\(s+2t=1\) より、\(2t=t^{\prime}\) とおくと、
\(~~~s+t^{\prime}=1\)
また、\(t=\displaystyle \frac{\,t^{\prime}\,}{\,2\,}\) より、
\(~s{\small ~≧~}0~,~t^{\prime}{\small ~≧~}0\)
\(t=\displaystyle \frac{\,t^{\prime}\,}{\,2\,}\) より、\(\overrightarrow{\rm OP}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&s\overrightarrow{\rm OA}+\displaystyle \frac{\,t^{\prime}\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&s\overrightarrow{\rm OA}+t^{\prime}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}\right)
\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OB}\) を満たす点 \({\rm B^{\prime}}\) をおくと、
\(\begin{eqnarray}&&\overrightarrow{\rm OP}=s\overrightarrow{\rm OA}+t^{\prime}\overrightarrow{\rm OB^{\prime}}
\\[3pt]&&0{\small ~≦~}s+t^{\prime}{\small ~≦~}1~,~s{\small ~≧~}0~,~t^{\prime}{\small ~≧~}0\end{eqnarray}\)
これより、点 \(\rm P\) の存在範囲は \(\triangle {\rm OAB^{\prime}}\) の周および内部となる
