三角形の内部の点と線分の比・面積比

内部の位置ベクトルの求め方はこちらから↓

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\({\rm AP:PD}=s:1-s \) とおくと、

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\(\triangle { \rm OAD }\) において、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\cdot\overrightarrow{\rm OA}+s\cdot\overrightarrow{\rm OD}\end{eqnarray}\)

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ここで、\(\overrightarrow{\rm OD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OB}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&(1-s)\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s\,\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)

 

次に \({\rm BP:PC}=t:1-t\) とおくと、

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\(\triangle { \rm OCB }\) において、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&t\cdot\overrightarrow{\rm OC}+(1-t)\cdot\overrightarrow{\rm OB}
\end{eqnarray}\)

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ここで、\(\overrightarrow{\rm OC}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OA}
=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{a}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t\,\overrightarrow{a}+(1-t)\,\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)

 

\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、

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\(\overrightarrow{a}\neq \overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{0}\) かつ \(\overrightarrow{a}\) と \(\overrightarrow{b}\) が平行でないので、係数を比較すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~1-s&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}t~ ~ ~ ~\,\cdots {\small [\,3\,]}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s&=&1-t~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,3\,]}\) より \(t=2-2s\) を \({\small [\,4\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s&=&1-(2-2s)
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}s&=&-1+2s
\\[5pt]~~~s&=&-3+6s
\\[5pt]~~~-5s&=&-3
\\[5pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\left(1-\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\right)\overrightarrow{a}
+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\cdot\overrightarrow{b}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\overrightarrow{a}
+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{eqnarray}\)

 

ここで、点 \(\rm E\) は直線 \(\rm OP\) の延長線上にあるので、\(\overrightarrow{\rm OE}=k\,\overrightarrow{\rm OP}\) となり、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OE}&=&k\,\overrightarrow{\rm OP}
\\[5pt]~~~&=&k\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\overrightarrow{b}\right)\hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,5\,]}\,)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}k\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}k\,\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,6\,]}
\end{eqnarray}\)

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また、\(\rm E\) は辺 \(\rm AB\) 上にあり、係数の和が \(1\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}k+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}k&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}k&=&1
\\[5pt]~~~k&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)

 

よって、\(\overrightarrow{\rm OE}=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OP}\) となる

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これより、\(\rm OP:OE=3:5\) となるので、

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　\(\rm OP:PE=3:2\) となる

 

次に、\({\small [\,6\,]}\) に \(k=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OE}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\,\overrightarrow{a}
+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}\,\overrightarrow{b}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,1+2\,}
\end{eqnarray}\)

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内分の式より、\(\rm AE:EB=1:2\) となる

 

 

\(\triangle {\rm OAB}\) の面積を基準にすると、

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\(\triangle {\rm PAB}\) は底辺が等しく、\(\rm OE:PE=5:2\) より、

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　\(\triangle {\rm PAB}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\triangle {\rm OAB}~ ~ ~ \cdots {\small [\,7\,]}\)

 

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次に、\(\triangle {\rm OAE}\) は、\(\rm AE:EB=1:2\) より、

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　\(\triangle {\rm OAE}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\triangle {\rm OAB}\)

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さらに、\(\triangle {\rm OAP}\) は底辺が等しく、\(\rm OE:OP=5:3\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm OAP}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\,\triangle {\rm OAE}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\triangle {\rm OAB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\triangle {\rm OAB}~ ~ ~ \cdots {\small [\,8\,]}
\end{eqnarray}\)

 

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次に、\(\triangle {\rm OEB}\) は、\(\rm AE:EB=1:2\) より、

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　\(\triangle {\rm OEB}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\triangle {\rm OAB}\)

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さらに、\(\triangle {\rm PEB}\) は底辺が等しく、\(\rm OE:PE=5:2\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm PEB}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,\triangle {\rm OEB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\triangle {\rm OAB}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,15\,}\triangle {\rm OAB}~ ~ ~ \cdots {\small [\,9\,]}
\end{eqnarray}\)

 

\(\small [\,7\,]\)〜\(\small [\,9\,]\) より、\(\triangle {\rm OAB}\) の面積を \(1\) とした面積比は、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&\triangle {\rm OAB}:\triangle {\rm PAB}:\triangle {\rm OAP}:\triangle {\rm PEB}
\\[5pt]~~~&=&1\,:\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\,:\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\,:\,\displaystyle \frac{\,4\,}{\,15\,}
\\[5pt]~~~&=&1{\, \small \times \,}15\,:\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}15\,:\,\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}{\, \small \times \,}15\,:\,\displaystyle \frac{\,4\,}{\,15\,}{\, \small \times \,}15
\\[5pt]~~~&=&15\,:\,6\,:\,3\,:\,4
\end{eqnarray}\)