2直線の平行・垂直と法線ベクトル

[証明] 直線 \(a_1x+b_1y+c_1=0\) の法線ベクトルは、

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　\(\overrightarrow{m}=(a_1~,~b_1)\)

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直線 \(a_2x+b_2y+c_2=0\) の法線ベクトルは、

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　\(\overrightarrow{n}=(a_2~,~b_2)\)

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2直線が平行のとき、それぞれの法線ベクトル \(\overrightarrow{m},\,\overrightarrow{n}\) のなす角は \(0^\circ\) または \(180^\circ\) となるので、

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　\(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=|\,\overrightarrow{m}\,|\,|\,\overrightarrow{n}\,|\cos 0^\circ=|\,\overrightarrow{m}\,|\,|\,\overrightarrow{n}\,|\)

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または、

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　\(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=|\,\overrightarrow{m}\,|\,|\,\overrightarrow{n}\,|\cos 180^\circ=-|\,\overrightarrow{m}\,|\,|\,\overrightarrow{n}\,|\)

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どちらでも両辺を2乗すると、

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\(~~~(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n})^2=|\,\overrightarrow{m}\,|^2\,|\,\overrightarrow{n}\,|^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)

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ここで、内積を成分で計算すると、\(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}=a_1\,a_2+b_1\,b_2\) であるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&(\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n})^2
\\[3pt]~~~&=&(a_1\,a_2+b_1\,b_2)^2
\\[3pt]~~~&=&{a_1}^2\,{a_2}^2+2a_1a_2b_1b_2+{b_1}^2\,{b_2}^2
\end{eqnarray}\)

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また、\(|\,\overrightarrow{m}\,|^2={a_1}^2+{b_1}^2~,~|\,\overrightarrow{n}\,|^2={a_2}^2+{b_2}^2\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,\overrightarrow{m}\,|^2\,|\,\overrightarrow{n}\,|^2
\\[3pt]~~~&=&({a_1}^2+{b_1}^2)({a_2}^2+{b_2}^2)
\\[3pt]~~~&=&{a_1}^2{a_2}^2+{a_1}^2{b_2}^2+{b_1}^2{a_2}^2+{b_1}^2{b_2}^2
\end{eqnarray}\)

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\(\small [\,1\,]\) に代入して整理すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~{a_1}^2{b_2}^2-2a_1a_2b_1b_2+{b_1}^2{a_2}^2&=&0
\\[3pt]~~~({a_1}{b_2}-{a_2}{b_1})^2&=&0
\\[3pt]~~~{a_1}{b_2}-{a_2}{b_1}&=&0
\end{eqnarray}\)

 

また、2直線が垂直のとき、それぞれの法線ベクトル \(\overrightarrow{m}~,~\overrightarrow{n}\) も垂直となり、内積が \(0\) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}&=&0
\\[3pt]~~~a_1a_2+b_1b_2&=&0
\end{eqnarray}\)

 

したがって、

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　2直線が平行のとき、\({a_1}{b_2}-{a_2}{b_1}=0\)
　2直線が垂直のとき、\(a_1a_2+b_1b_2=0\) [終]