このページは、「直径が条件の円のベクトル方程式」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01平面上の異なる \(2\) 点 \({\rm O}\,,\,{\rm A}\) に対して \(\overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}\) とすると、線分 \({\rm OA}\) を直径とする円のベクトル方程式は、その円上の点 \({\rm P}\) について \(\overrightarrow{\rm OP}=\overrightarrow{p}\) として、\(\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\) で与えられることを示せ。
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.44 練習38
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.45 研究 練習2
[証明] 線分 \({\rm OA}\) を直径とする円より、\(\angle {\rm OPA}=90^\circ\) となり、\(\overrightarrow{\rm PO}\) と \(\overrightarrow{\rm PA}\) の内積は \(0\) となる
\(\overrightarrow{\rm PO}=-\overrightarrow{p}~,~\overrightarrow{\rm PA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm PO}\cdot\overrightarrow{\rm PA}&=&0\\[3pt]~~~(-\overrightarrow{p})\cdot(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{p})&=&0\\[3pt]~~~\overrightarrow{p}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})&=&0\end{eqnarray}\)
[終]
