- 数学C｜空間ベクトル「空間の2点から等距離にある点の座標」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜空間の2点から等距離にある点の座標
空間ベクトル 05空間の2点 \( {\rm A}(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( {\rm B}(4~,~ -1~,~ 0) \) から等距離にある \( x \) 軸上の点 \(\rm P \) の座標の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
空間の2点から等距離にある点の座標
Point：空間の2点から等距離にある点の座標
① 点 \( {\rm P} \) の座標を文字に置く。
空間の \(x\) 軸上の点 \( {\rm P} \) は、
\(y\) 座標、\(z\) 座標は \(0\) であることより、
\( {\rm P}(a~,~0~,~0) \) とおくことができる
② 2点間の距離の公式から \(\rm AP^2\) と \(\rm BP^2\) を求めて、\(\rm AP^2=BP^2\) を計算して、座標を求める。
空間の2点 \( {\rm A}~,~{\rm B} \) から等距離になる点 \( {\rm P} \) の座標は、
① 点 \( {\rm P} \) の座標を文字に置く。
空間の \(x\) 軸上の点 \( {\rm P} \) は、
\(y\) 座標、\(z\) 座標は \(0\) であることより、
\( {\rm P}(a~,~0~,~0) \) とおくことができる
② 2点間の距離の公式から \(\rm AP^2\) と \(\rm BP^2\) を求めて、\(\rm AP^2=BP^2\) を計算して、座標を求める。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜空間の2点から等距離にある点の座標
空間ベクトル 05
空間の2点 \( {\rm A}(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( {\rm B}(4~,~ -1~,~ 0) \) から等距離にある \( x \) 軸上の点 \(\rm P \) の座標の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
点 \(\rm P \) は \( x \) 軸上の点より、\(y\) 座標、\(z\) 座標は \(0\) となるので、
\( {\rm P}(a~,~0~,~0) \)とおく
空間の3点 \({\rm A}\left(\,\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\,\right)~,~{\rm B}\left(\,\begin{array}{c}4\\-1\\0\end{array}\,\right)~,~{\rm P}\left(\,\begin{array}{c}a\\0\\0\end{array}\,\right)\) において、
\(\rm AP^2\) と \(\rm BP^2\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}^2&=&(a-1)^2+2^2+3^2
\\[3pt]~~~&=&a^2-2a+1+4+9
\\[3pt]~~~&=&a^2-2a+14\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm BP}^2&=&(a-4)^2+(-1)^2+0^2
\\[3pt]~~~&=&a^2-8a+16+1
\\[3pt]~~~&=&a^2-8a+17\end{eqnarray}\)
点 \(\rm P \) は、2点 \( {\rm A}~,~{\rm B} \) から等距離にあるので、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AP}&=&{\rm BP}
\\[3pt]~~\Leftrightarrow ~ ~{\rm AP}^2&=&{\rm BP}^2
\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~a^2-2a+14&=&a^2-8a+17
\\[3pt]~~~-2a+8a&=&17-14
\\[3pt]~~~6a&=&3
\\[3pt]~~~a&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、点 \( {\rm P}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~0~,~0\right) \) となる
