このページは、「四面体におけるベクトルの表し方」の練習問題アーカイブページとなります。
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四面体におけるベクトルの表し方 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01四面体 \({\rm ABCD}\) において、辺 \({\rm CD}\) の中点を \({\rm M}\) とする。\( \overrightarrow{\rm AM}=\overrightarrow{a}~,~\)\( \overrightarrow{\rm CD}=\overrightarrow{b}~,~\)\( \overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{c} \) とするとき、\( \overrightarrow{\rm AC} \) と \( \overrightarrow{\rm BC} \) を \( \overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c} \) を用いて表せ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.80 問題 1
\(\overrightarrow{\rm AC}\) は、点 \({\rm A}\) → \({\rm M}\) → \({\rm C}\) と進んでいき、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AC}&=&\overrightarrow{\rm AM}+\overrightarrow{\rm MC}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm AM}-\overrightarrow{\rm CM}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{a}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm CD}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{a}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{b}\end{eqnarray}\)
※ \({\rm M}\) は \({\rm CD}\) の中点より、\(\overrightarrow{\rm CM}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm CD}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{b}\)
\(\overrightarrow{\rm BC}\) は、点 \({\rm B}\) → \({\rm A}\) → \({\rm C}\) と進んでいき、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BC}&=&\overrightarrow{\rm BA}+\overrightarrow{\rm AC}
\\[5pt]~~~&=&-\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AC}
\\[5pt]~~~&=&-\overrightarrow{c}+\left(\overrightarrow{a}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{b}\right)
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{a}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02四面体 \({\rm ABCD}\) の辺 \({\rm AD}\) の中点を \({\rm M}\) 、辺 \({\rm BC}\) の中点を \({\rm N}\) とするとき、\( \overrightarrow{\rm MN}=s\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm DC} \) を満たす実数 \( s~,~t \) の値を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.73 章末問題A 1
\(\overrightarrow{\rm MN}\) は、点 \({\rm M}\) → \({\rm A}\) → \({\rm N}\) と進んでいき、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm MN}&=&\overrightarrow{\rm MA}+\overrightarrow{\rm AN}
\\[5pt]~~~&=&-\overrightarrow{\rm AM}+\overrightarrow{\rm AN}\end{eqnarray}\)
※ \({\rm M}\) は \({\rm AD}\) の中点より、\(\overrightarrow{\rm AM}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm AD}\)
※ \({\rm N}\) は \({\rm BC}\) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AN}&=&\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BN}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm BC}\end{eqnarray}\)
よって、\(\overrightarrow{\rm MN}\) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm MN}&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm BC}\end{eqnarray}\)
ここで、\(\overrightarrow{\rm AD}\) と \(\overrightarrow{\rm BC}\) を \(\overrightarrow{\rm AB}\) と \(\overrightarrow{\rm DC}\) で表すと、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AD}&=&\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}+\overrightarrow{\rm CD}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}-\overrightarrow{\rm DC}\end{eqnarray}\)
これを代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm MN}&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BC}-\overrightarrow{\rm DC}\right)+\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm BC}
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm AB}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm BC}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm DC}+\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm BC}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm DC}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm AB}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm BC}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm DC}+\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm BC}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm AB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm DC}\end{eqnarray}\)
したがって、\( s=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~t=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \)
