- 数学C｜空間ベクトル「空間ベクトルの成分計算」の基本例題解説ページです。
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問題｜空間ベクトルの成分計算
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
空間ベクトルの成分計算
空間ベクトルの成分の計算方法は、
■ 加法・減法
\(x\) 成分、\(y\) 成分、\(z\) 成分をそれぞれ計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}a_1\\[2pt]a_2\\[2pt]a_3\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}b_1\\[2pt]b_2\\[2pt]b_3\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}a_1+b_1\\[2pt]a_2+b_2\\[2pt]a_3+b_3\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
■ 実数倍
\(x\) 成分、\(y\) 成分、\(z\) 成分をそれぞれ \( k \) 倍する。
\( k \) を実数として、
\(\begin{eqnarray}~~~k\overrightarrow{a}&=&k\left(\,\begin{array}{c}a_1\\[2pt]a_2\\[2pt]a_3\end{array}\,\right)=\left(\,\begin{array}{c}ka_1\\[2pt]ka_2\\[2pt]ka_3\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜空間ベクトルの成分計算
高校数学C｜空間ベクトル
\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]4\\[2pt]0\end{array}\,\right)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]4\\[2pt]0\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1-2\\[2pt]2+4\\[2pt]3+0\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-1\\[2pt]6\\[2pt]3\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
よって、\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(-1~,~6~,~3)\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]4\\[2pt]0\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1+2\\[2pt]2-4\\[2pt]3-0\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]-2\\[2pt]3\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
よって、\(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(3~,~-2~,~3)\)
\(\begin{eqnarray}~~~2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}&=&2\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{array}\,\right)-3\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]4\\[2pt]0\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]4\\[2pt]6\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}6\\[2pt]-12\\[2pt]0\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}2+6\\[2pt]4-12\\[2pt]6+0\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}8\\[2pt]-8\\[2pt]6\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
よって、\(2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}=(8~,~-8~,~6)\)
※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。
