- 数学C｜空間ベクトル「成分計算と空間ベクトルの表し方」の基本例題解説ページです。
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問題｜成分計算と空間ベクトルの表し方
空間ベクトル 12\( \overrightarrow{a}=(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( \overrightarrow{b}=(-2~,~ 4~,~ 0)~,~\)\(\overrightarrow{c}=(3~,~ 0~,~ -1) \) のとき、\( \overrightarrow{p}=(-3~,~ 8~,~ 7) \) を \( \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c} \) の形で表す方法は？
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
成分計算と空間ベクトルの表し方
Point：成分計算と空間ベクトルの表し方
① \(\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}\) とおき、それぞれの成分を代入する。
② \(x\) 成分と、\(y\) 成分、\(z\) 成分がそれぞれ等しいことより、3つの式に分けて \(s~,~t~,~u\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
s-2t+3u=-3 ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]} \\ s+2t=4 ~ ~ ~ \hspace{22pt}\cdots {\small [\,2\,]} \\ 3s-u=7~ ~ ~ \hspace{28pt}\cdots {\small [\,3\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
③ \(\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}\) に，\(s~,~t~,~u\) を代入して答える。
※ \(s~,~t~,~u\) を答える問題ではないことに注意。
成分表示の \(\overrightarrow{p}\) を \( s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c} \) で表す方法は、
① \(\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}\) とおき、それぞれの成分を代入する。
\(\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]8\\[2pt]7\end{array}\,\right)
=s\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{array}\,\right)+t\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]4\\[2pt]0\end{array}\,\right)+u\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{array}\,\right)\)
=s\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{array}\,\right)+t\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]4\\[2pt]0\end{array}\,\right)+u\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{array}\,\right)\)
② \(x\) 成分と、\(y\) 成分、\(z\) 成分がそれぞれ等しいことより、3つの式に分けて \(s~,~t~,~u\) の値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
s-2t+3u=-3 ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]} \\ s+2t=4 ~ ~ ~ \hspace{22pt}\cdots {\small [\,2\,]} \\ 3s-u=7~ ~ ~ \hspace{28pt}\cdots {\small [\,3\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
③ \(\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c}\) に，\(s~,~t~,~u\) を代入して答える。
※ \(s~,~t~,~u\) を答える問題ではないことに注意。
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※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。
詳しい解説｜成分計算と空間ベクトルの表し方
空間ベクトル 12\( \overrightarrow{a}=(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( \overrightarrow{b}=(-2~,~ 4~,~ 0)~,~\)\(\overrightarrow{c}=(3~,~ 0~,~ -1) \) のとき、\( \overrightarrow{p}=(-3~,~ 8~,~ 7) \) を \( \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c} \) の形で表す方法は？
高校数学C｜空間ベクトル
\( \overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]4\\[2pt]0\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{c}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{array}\,\right)\)
\(\overrightarrow{p}=\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]8\\[2pt]7\end{array}\,\right) \) より、
\( \overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}+u\overrightarrow{c} \) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}-3\\[2pt]8\\[2pt]7\end{array}\,\right)
&=&s\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{array}\,\right)+t\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]4\\[2pt]0\end{array}\,\right)+u\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}s\\[2pt]2s\\[2pt]3s\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}-2t\\[2pt]4t\\[2pt]0\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}3u\\[2pt]0\\[2pt]-u\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}s-2t+3u\\[2pt]2s+4t\\[2pt]3s-u\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
&=&s\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{array}\,\right)+t\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]4\\[2pt]0\end{array}\,\right)+u\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}s\\[2pt]2s\\[2pt]3s\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}-2t\\[2pt]4t\\[2pt]0\end{array}\,\right)+\left(\,\begin{array}{c}3u\\[2pt]0\\[2pt]-u\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}s-2t+3u\\[2pt]2s+4t\\[2pt]3s-u\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
\(x\) 成分、\(y\) 成分、\(z\) 成分はそれぞれ等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
-3=s-2t+3u \\ 8=2s+4t \\ 7=3s-u
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
よって、(※ 2番目の式は両辺を \(2\) で割る)
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
s-2t+3u=-3 ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]} \\ s+2t=4 ~ ~ ~ \hspace{22pt}\cdots {\small [\,2\,]} \\ 3s-u=7~ ~ ~ \hspace{28pt}\cdots {\small [\,3\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}+{\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
s-2t+3u&=&-3 \\~~
-\big{)}~~s+2t\hspace{23pt}&=&4\\
\hline 2s+3u&=&1 ~ ~ ~ ~ ~ ~\cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}+{\small [\,3\,]}{\, \small \times \,}3\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~~~
2s+3u&=&1 \\~~
-\big{)}~~9s-3u&=&21\\
\hline 11s&=&22
\\s&=&2
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) に \(s=2\) を代入すると
\(\begin{eqnarray}~~~2+2t&=&4
\\[5pt]~~~2t&=&2
\\[5pt]~~~t&=&1\end{eqnarray}\)
\({\small [\,3\,]}\) に \(s=2\) を代入すると
\(\begin{eqnarray}~~~3\cdot 2-u&=&7
\\[5pt]~~~6-u&=&7
\\[5pt]~~~ -u&=&1
\\[5pt]~~~u&=&-1\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\overrightarrow{p}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \) となる
※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。
