- 数学C｜空間ベクトル「空間の点をベクトルの成分で表す」の基本例題解説ページです。
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問題｜空間の点をベクトルの成分で表す
空間ベクトル 13空間の2点 \( {\rm A}(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( {\rm B}(4~,~ -1~,~ 2) \) について、ベクトル \( \overrightarrow{\rm AB} \) の成分と大きさの求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
空間の点をベクトルの成分で表す
Point：空間の点をベクトルの成分で表す
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}\) より、
\(\overrightarrow{\rm AB}
=\left(\,\begin{array}{c}b_1\\[2pt]b_2\\[2pt]b_3\end{array}\,\right)
-\left(\,\begin{array}{c}a_1\\[2pt]a_2\\[2pt]a_3\end{array}\,\right)=\left(\,\begin{array}{c}b_1-a_1\\[2pt]b_2-a_2\\[2pt]b_3-a_3\end{array}\,\right)\)
※ 矢印の先の点 \(\rm B\) から点 \({\rm A}\) を引くと覚える。
\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,\left(b_1-a_1\right)^2+\left(b_2-a_2\right)^2+\left(b_3-a_3\right)^2\,}
\end{eqnarray}\)
空間の2点 \( {\rm A}(a_1~,~a_2~,~a_3)~,~{\rm B}(b_1~,~b_2~,~b_3) \) と原点 \( {\rm O} \) について、
\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}\) より、
\(\overrightarrow{\rm AB}
=\left(\,\begin{array}{c}b_1\\[2pt]b_2\\[2pt]b_3\end{array}\,\right)
-\left(\,\begin{array}{c}a_1\\[2pt]a_2\\[2pt]a_3\end{array}\,\right)=\left(\,\begin{array}{c}b_1-a_1\\[2pt]b_2-a_2\\[2pt]b_3-a_3\end{array}\,\right)\)
※ 矢印の先の点 \(\rm B\) から点 \({\rm A}\) を引くと覚える。
また、\(\overrightarrow{\rm AB}\) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{\,\left(b_1-a_1\right)^2+\left(b_2-a_2\right)^2+\left(b_3-a_3\right)^2\,}
\end{eqnarray}\)
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※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。
詳しい解説｜空間の点をベクトルの成分で表す
空間ベクトル 13空間の2点 \( {\rm A}(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( {\rm B}(4~,~ -1~,~ 2) \) について、ベクトル \( \overrightarrow{\rm AB} \) の成分と大きさの求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
原点 \( {\rm O} \) から点 \( {\rm A}~,~{\rm B} \) に向かうベクトルは、
\( \overrightarrow{\rm OA}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{array}\,\right) ~,~\overrightarrow{\rm OB}=\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]-1\\[2pt]2\end{array}\,\right) \)
これより、\( \overrightarrow{\rm AB} \) は
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}&=&\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]-1\\[2pt]2\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}4-1\\[2pt]-1-2\\[2pt]2-3\end{array}\,\right)
=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]-3\\[2pt]-1\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
また、\( \overrightarrow{\rm AB} \) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|&=&\sqrt{3^2+(-3)^2+(-1)^2}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{9+9+1}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{19}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\( \overrightarrow{\rm AB}=(3~,~-3~,~-1)~,~|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|=\sqrt{19} \)
※ 教科書などの方法の横並びだと式が長くなり、対応する成分を見落として計算ミスが増えます。ここでは成分を縦に並べて、上から順に対応する成分同士を計算できるようにしています。ただし、答えを書くときは横並びに戻しておきましょう。
