- 数学C｜空間ベクトル「成分表示の空間ベクトルのなす角」の基本例題解説ページです。
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問題｜成分表示の空間ベクトルのなす角
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
成分表示の空間ベクトルのなす角
空間の2つのベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) の成分が、
\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}a_1\\[2pt]a_2\\[2pt]a_3\end{array}\,\right)\,,~~
\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}b_1\\[2pt]b_2\\[2pt]b_3\end{array}\,\right)\)
のとき、ベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) のなす角 \(\theta\) は、
① 成分より内積 \(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&a_1\,b_1+a_2\,b_2+a_3\,b_3
\end{eqnarray}\)
※ 内積は、\(x\) 成分の積＋ \(y\) 成分の積＋ \(z\) 成分の積。
② 成分より、それぞれの大きさを求める。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{a_1^{\,2}+a_2^{\,2}+a_3^{\,2}}
\\[3pt]~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{b_1^{\,2}+b_2^{\,2}+b_3^{\,2}}
\end{eqnarray}\)
③ 内積の定義の式に①と②の結果を代入し \(\cos\theta\) を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,||\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta
\\[5pt]\hspace{10pt}~\Leftrightarrow ~ \cos\theta=\displaystyle\frac{\,\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\,}{\,|\,\overrightarrow{a}\,||\,\overrightarrow{b}\,|\,}
\end{eqnarray}\)
④ \(\cos\theta\) からなす角 \(\theta\) の値を求める。
ただし、\(0^\circ{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ\)
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詳しい解説｜成分表示の空間ベクトルのなす角
\( \overrightarrow{a}=(2~,~ 1~,~ 1)~,~\)\( \overrightarrow{b}=(2~,~ 4~,~ -2) \) のなす角 \( \theta \) の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
\( \overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]1\\[2pt]1\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]4\\[2pt]-2\end{array}\,\right) \) より、
内積の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&2\cdot 2+1\cdot 4+1\cdot(-2)
\\[3pt]~~~&=&4+4-2
\\[3pt]~~~&=&6~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
また、それぞれのベクトルの大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{2^2+1^2+1^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{4+1+1}~=~\sqrt{6}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{b}\,|&=&\sqrt{2^2+4^2+(-2)^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{4+16+4}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{24}~=~2\sqrt{6}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
内積の定義の式 \( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\,\overrightarrow{a}\,||\,\overrightarrow{b}\,|\cos\theta \) より、
\(\small [\,1\,]\) 〜 \(\small [\,3\,]\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~6&=&\sqrt{6}{\, \small \times \,}2\sqrt{6}{\, \small \times \,}\cos\theta
\\[3pt]~~~12\cos\theta&=&6
\\[3pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,12\,}
\\[3pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\( 0^\circ {\small ~≦~}\theta {\small ~≦~}180^\circ \) より、
2つのベクトルのなす角は、\( \theta =60^\circ \) となる
