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問題｜空間の三角形の内角の大きさ
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
空間の三角形の内角の大きさ
空間における点 \( {\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C} \) を頂点とする \( \triangle {\rm ABC} \) の \( 3 \) つの内角の大きさは、
① 2つのベクトル \( \overrightarrow{\rm AB}~,~\overrightarrow{\rm AC} \) を求めて、内積 \( \overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC} \) と大きさ \( |\,\overrightarrow{\rm AB}\,||\,\overrightarrow{\rm AC}\,| \) を求めて、内積の公式から \( \angle {\rm A}\) の大きさを求める。
\( \overrightarrow{\rm AB}=\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]4\\[2pt]-2\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{\rm AC}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{array}\,\right) \) より、
\( \overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=6~,~|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|=2\sqrt{6}~,~|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|=\sqrt{6} \)
\( \overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=|\,\overrightarrow{\rm AB}\,||\,\overrightarrow{\rm AC}\,|\cdot\cos {\rm A} \) より、
\( \cos {\rm A}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~\Leftrightarrow ~ {\rm A}=60^\circ \)
② 同様に、2つのベクトル \( \overrightarrow{\rm BA}~,~\overrightarrow{\rm BC} \) において、\( \angle {\rm B}\) の大きさを求める。
\({\rm B}=30^\circ\)
③ 三角形の内角の和が \( 180^\circ \) より、\( \angle {\rm C}\) の大きさを求める。
\( {\rm A}=60^\circ~,~{\rm B}=30^\circ\)
\( {\rm A+B+C}=180^\circ \) より、\( {\rm C}=90^\circ \)
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詳しい解説｜空間の三角形の内角の大きさ
空間の3点 \( {\rm A}(0~,~ -1~,~ 1)~,~\)\( {\rm B}(-2~,~ 3~,~ -1)~,~\)\({\rm C}(1~,~ 0~,~ -1) \) を頂点とする \( \triangle {\rm ABC} \) の内角の大きさの求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
原点を \( {\rm O} \) として、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}&=&\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]3\\[2pt]-1\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-2-0\\[2pt]3+1\\[2pt]-1-1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]4\\[2pt]-2\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AC}&=&\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1-0\\[2pt]0+1\\[2pt]-1-1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
これより、\( \overrightarrow{\rm AB} \) と \( \overrightarrow{\rm AC} \) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}&=&-2\cdot 1+4\cdot 1+(-2)\cdot(-2)
\\[3pt]~~~&=&-2+4+4
\\[3pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
また、\( \overrightarrow{\rm AB} \) と \( \overrightarrow{\rm AC} \) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|&=&\sqrt{(-2)^2+4^2+(-2)^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{4+16+4}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{24}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|&=&\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{1+1+4}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
内積の定義の式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}&=&|\,\overrightarrow{\rm AB}\,||\,\overrightarrow{\rm AC}\,|\cdot\cos {\rm A}
\\[5pt]~~~6&=&2\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}\cdot\cos {\rm A}
\\[5pt]~~~6&=&12\cos {\rm A}
\\[5pt]~~~\cos {\rm A}&=&\displaystyle \frac{\,6\,}{\,12\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(0\lt {\rm A}\lt 180^\circ\) より、\({\rm A}=60^\circ\)
次に、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BA}&=&-\overrightarrow{\rm AB}
\\[5pt]~~~&=&-\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]4\\[2pt]-2\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]-4\\[2pt]2\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BC}&=&\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]3\\[2pt]-1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1+2\\[2pt]0-3\\[2pt]-1+1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]-3\\[2pt]0\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
これより、\( \overrightarrow{\rm BA} \) と \( \overrightarrow{\rm BC} \) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BA}\cdot\overrightarrow{\rm BC}&=&2\cdot 3+(-4)\cdot(-3)+2\cdot 0
\\[3pt]~~~&=&6+12
\\[3pt]~~~&=&18\end{eqnarray}\)
また、\( \overrightarrow{\rm BA} \) と \( \overrightarrow{\rm BC} \) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm BA}\,|&=&|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm BC}\,|&=&\sqrt{3^2+(-3)^2+0^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{9+9}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{18}
\\[3pt]~~~&=&3\sqrt{2}\end{eqnarray}\)
内積の定義の式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BA}\cdot\overrightarrow{\rm BC}&=&|\,\overrightarrow{\rm BA}\,||\,\overrightarrow{\rm BC}\,|\cdot\cos {\rm B}
\\[5pt]~~~18&=&2\sqrt{6}\cdot 3\sqrt{2}\cdot\cos {\rm B}
\\[5pt]~~~18&=&12\sqrt{3}\cos {\rm B}
\\[5pt]~~~\cos {\rm B}&=&\displaystyle \frac{\,18\,}{\,12\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~\cos {\rm B}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~\cos {\rm B}&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(0\lt {\rm B}\lt 180^\circ\) より、\({\rm B}=30^\circ\)
\({\rm A+B+C}=180^\circ\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm C}&=&180^\circ-{\rm A}-{\rm B}
\\[3pt]~~~&=&180^\circ-60^\circ-30^\circ
\\[3pt]~~~&=&90^\circ\end{eqnarray}\)
したがって、
\({\rm A}=60^\circ~,~{\rm B}=30^\circ~,~{\rm C}=90^\circ\) となる
