- 数学C｜空間ベクトル「成分表示の空間ベクトルの垂直条件」の基本例題解説ページです。
- 目次をクリックすると各セクションへ移動します。
問題｜成分表示の空間ベクトルの垂直条件
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
成分表示の空間ベクトルの垂直条件
空間ベクトルの垂直条件と大きさの条件が与えられたとき、
① 求めたいベクトルの成分を、\( \overrightarrow{c}=(x~,~y~,~z) \) とおく。
② 垂直条件＝内積が \(0\) より式を立てる。
\( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=0 \) より、\( x+2y+3z=0 \)
\( \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=0 \) より、\( 2x+y=0 \)
③ 大きさの条件より式を立てる。
\( |\,\overrightarrow{c}\,|=\sqrt{6} \) より、\( x^2+y^2+z^2=6 \)
④ 垂直条件の2つの式から \( y~,~z \) を \( x \) の式で表し、大きさの条件式に代入することで \( x~,~y~,~z \) の値を求める。
©︎ 2026 教科書より詳しい高校数学 yorikuwa.com
詳しい解説｜成分表示の空間ベクトルの垂直条件
\( \overrightarrow{a}=(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( \overrightarrow{b}=(-2~,~ -1~,~ 0) \) の両方に垂直で大きさ \( \sqrt{6} \) のベクトルの求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
求めるベクトルを \( \overrightarrow{c}=(x~,~y~,~z) \) とおくと、
\( \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c} \) より、内積 \( \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~1\cdot x+2\cdot y+3\cdot z&=&0
\\[3pt]~~~x+2y+3z&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( \overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{c} \) より、内積 \( \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c}=0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~-2\cdot x+(-1)\cdot y+0\cdot z&=&0
\\[3pt]~~~-2x-y&=&0
\\[3pt]~~~2x+y&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\( \overrightarrow{c} \) の大きさが \( \sqrt{6} \) より、\( |\,\overrightarrow{c}\,|=\sqrt{6} \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{x^2+y^2+z^2}&=&\sqrt{6}
\\[3pt]~~~x^2+y^2+z^2&=&6~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) より \( y=-2x~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}\)
これを \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x+2\cdot(-2x)+3z&=&0
\\[3pt]~~~x-4x+3z&=&0
\\[3pt]~~~-3x+3z&=&0
\\[3pt]~~~3z&=&3x
\\[3pt]~~~z&=&x~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,4\,]}\)、\({\small [\,5\,]}\) を \({\small [\,3\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x^2+(-2x)^2+x^2&=&6
\\[3pt]~~~x^2+4x^2+x^2&=&6
\\[3pt]~~~6x^2&=&6
\\[3pt]~~~x^2&=&1
\\[3pt]~~~x&=&\pm 1\end{eqnarray}\)
\(x=1\) のとき、
\(\small [\,4\,]\) より、\(y=-2\cdot1=-2\)
\(\small [\,5\,]\) より、\(z=1\)
\(x=-1\) のとき、
\(\small [\,4\,]\) より、\(y=-2\cdot(-1)=2\)
\(\small [\,5\,]\) より、\(z=-1\)
したがって、
\(\overrightarrow{c}=(1~,~-2~,~1)~,~(-1~,~2~,~-1)\) となる
