成分表示の空間ベクトルの垂直条件

数研出版｜数学Ｃ[708] p.64 練習16

求めるベクトルを \( \overrightarrow{p}=(x~,~y~,~z) \) とおくと、

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\( \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{p} \) より、内積 \( \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p}=0 \) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~1\cdot x+(-1)\cdot y+1\cdot z&=&0
\\[3pt]~x-y+z&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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\( \overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{p} \) より、内積 \( \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{p}=0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~1\cdot x+(-2)\cdot y+(-1)\cdot z&=&0
\\[3pt]~~~x-2y-z&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\( \overrightarrow{p} \) の大きさが \( \sqrt{14} \) より、\( |\,\overrightarrow{p}\,|=\sqrt{14} \) となるので、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{x^2+y^2+z^2}&=&\sqrt{14}
\\[3pt]~~~x^2+y^2+z^2&=&14~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}-{\small [\,2\,]}\) より \( y=-2z~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}\)

---

これを \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~x-(-2z)+z&=&0
\\[3pt]~~~x+2z+z&=&0
\\[3pt]~~~x+3z&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-3z~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{eqnarray}\)

---

よって、\({\small [\,4\,]}\)、\({\small [\,5\,]}\) を \({\small [\,3\,]}\) に代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(-3z)^2+(-2z)^2+z^2&=&14
\\[3pt]~~~9z^2+4z^2+z^2&=&14
\\[3pt]~~~14z^2&=&14
\\[3pt]~~~z^2&=&1
\\[3pt]~~~z&=&\pm 1\end{eqnarray}\)

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\(z=1\) のとき、

---

　\(\small [\,4\,]\) より、\(y=-2\cdot1=-2\)
　\(\small [\,5\,]\) より、\(x=-3\cdot1=-3\)

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\(z=-1\) のとき、

---

　\(\small [\,4\,]\) より、\(y=-2\cdot(-1)=2\)
　\(\small [\,5\,]\) より、\(x=-3\cdot(-1)=3\)

---

したがって、

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　\(\overrightarrow{p}=(-3~,~-2~,~1)~,~(3~,~2~,~-1)\) となる

数研出版｜数学Ｃ[708] p.80 問題 4

\({\small (1)}~\) [証明] \(\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{c}&=&(2~,~0~,~2)-(1~,~2~,~3)
\\[3pt]~~~&=&(1~,~-2~,~-1)
\end{eqnarray}\)

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\( \overrightarrow{a} \) と \( \overrightarrow{c} \) の内積を計算すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}&=&2\cdot1+0\cdot(-2)+2\cdot(-1)
\\[3pt]~~~&=&2+0-2
\\[3pt]~~~&=&0
\end{eqnarray}\)

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\( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}=0 \) より、\( \overrightarrow{c} \) は \( \overrightarrow{a} \) に垂直である

 

\({\small (2)}~\) 求めるベクトルを \( \overrightarrow{d}=(x~,~y~,~z) \) とおくと、

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\( \overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{d} \) より、内積 \( \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{d}=0 \) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~1\cdot x+2\cdot y+3\cdot z&=&0
\\[3pt]~x+2y+3z&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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\( \overrightarrow{c} \perp \overrightarrow{d} \) より、内積 \( \overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}=0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~1\cdot x+(-2)\cdot y+(-1)\cdot z&=&0
\\[3pt]~~~x-2y-z&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\( \overrightarrow{d} \) の大きさが \( 3 \) より、\( |\,\overrightarrow{d}\,|=3 \) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{x^2+y^2+z^2}&=&3
\\[3pt]~~~x^2+y^2+z^2&=&9~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}-{\small [\,2\,]}\) より \( y=-z~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}\)

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これを \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~x+2\cdot(-z)+3z&=&0
\\[3pt]~~~x-2z+3z&=&0
\\[3pt]~~~x+z&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-z~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{eqnarray}\)

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よって、\({\small [\,4\,]}\)、\({\small [\,5\,]}\) を \({\small [\,3\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~(-z)^2+(-z)^2+z^2&=&9
\\[3pt]~~~z^2+z^2+z^2&=&9
\\[3pt]~~~3z^2&=&9
\\[3pt]~~~z^2&=&3
\\[3pt]~~~z&=&\pm \sqrt{3}\end{eqnarray}\)

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\(z=\sqrt{3}\) のとき、

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　\(\small [\,4\,]\) より、\(y=-\sqrt{3}\)
　\(\small [\,5\,]\) より、\(x=-\sqrt{3}\)

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\(z=-\sqrt{3}\) のとき、

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　\(\small [\,4\,]\) より、\(y=\sqrt{3}\)
　\(\small [\,5\,]\) より、\(x=\sqrt{3}\)

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したがって、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{d}&=&(-\sqrt{3}~,~-\sqrt{3}~,~\sqrt{3})~,~\\[3pt]~~~&&~(\sqrt{3}~,~\sqrt{3}~,~-\sqrt{3})\end{eqnarray}\)
となる

数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.60 練習12
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.62 練習12

求めるベクトルを \( \overrightarrow{p}=(x~,~y~,~z) \) とおくと、

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\( \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{p} \) より、内積 \( \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p}=0 \) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~2\cdot x+0\cdot y+(-1)\cdot z&=&0
\\[3pt]~2x-z&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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\( \overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{p} \) より、内積 \( \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{p}=0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~1\cdot x+3\cdot y+(-2)\cdot z&=&0
\\[3pt]~~~x+3y-2z&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

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\( \overrightarrow{p} \) の大きさが \( \sqrt{6} \) より、\( |\,\overrightarrow{p}\,|=\sqrt{6} \) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{x^2+y^2+z^2}&=&\sqrt{6}
\\[3pt]~~~x^2+y^2+z^2&=&6~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) より \( z=2x~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}\)

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これを \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~x+3y-2\cdot 2x&=&0
\\[3pt]~~~x+3y-4x&=&0
\\[3pt]~~~-3x+3y&=&0
\\[3pt]~~~3y&=&3x
\\[3pt]~~~y&=&x~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{eqnarray}\)

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よって、\({\small [\,4\,]}\)、\({\small [\,5\,]}\) を \({\small [\,3\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~x^2+x^2+(2x)^2&=&6
\\[3pt]~~~x^2+x^2+4x^2&=&6
\\[3pt]~~~6x^2&=&6
\\[3pt]~~~x^2&=&1
\\[3pt]~~~x&=&\pm 1\end{eqnarray}\)

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\(x=1\) のとき、

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　\(\small [\,5\,]\) より、\(y=1\)
　\(\small [\,4\,]\) より、\(z=2\cdot1=2\)

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\(x=-1\) のとき、

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　\(\small [\,5\,]\) より、\(y=-1\)
　\(\small [\,4\,]\) より、\(z=2\cdot(-1)=-2\)

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したがって、

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　\(\overrightarrow{p}=(1~,~1~,~2)~,~(-1~,~-1~,~-2)\) となる

東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.57 問18

求めるベクトルを \( \overrightarrow{p}=(x~,~y~,~z) \) とおくと、

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\( \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{p} \) より、内積 \( \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p}=0 \) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~1\cdot x+(-2)\cdot y+2\cdot z&=&0
\\[3pt]~x-2y+2z&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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\( \overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{p} \) より、内積 \( \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{p}=0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~5\cdot x+(-4)\cdot y+6\cdot z&=&0
\\[3pt]~~~5x-4y+6z&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

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\( \overrightarrow{p} \) の大きさが \( \sqrt{17} \) より、\( |\,\overrightarrow{p}\,|=\sqrt{17} \) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{x^2+y^2+z^2}&=&\sqrt{17}
\\[3pt]~~~x^2+y^2+z^2&=&17~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,2\,]}-5\times{\small [\,1\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~6y-4z&=&0
\\[3pt]~~~3y&=&2z
\\[3pt]~~~z&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}y~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)

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これを \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~x-2y+2\cdot\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}y&=&0
\\[5pt]~~~x-2y+3y&=&0
\\[3pt]~~~x+y&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-y~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{eqnarray}\)

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よって、\({\small [\,4\,]}\)、\({\small [\,5\,]}\) を \({\small [\,3\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~(-y)^2+y^2+\left(\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}y\right)^2&=&17
\\[5pt]~~~y^2+y^2+\displaystyle \frac{\,9\,}{\,4\,}y^2&=&17
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,17\,}{\,4\,}y^2&=&17
\\[5pt]~~~y^2&=&4
\\[3pt]~~~y&=&\pm 2\end{eqnarray}\)

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\(y=2\) のとき、

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　\(\small [\,5\,]\) より、\(x=-2\)
　\(\small [\,4\,]\) より、\(z=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\cdot2=3\)

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\(y=-2\) のとき、

---

　\(\small [\,5\,]\) より、\(x=2\)
　\(\small [\,4\,]\) より、\(z=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\cdot(-2)=-3\)

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したがって、

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　\(\overrightarrow{p}=(-2~,~2~,~3)~,~(2~,~-2~,~-3)\) となる

東京書籍｜Standard数学Ｃ[702] p.58 問13

求めるベクトルを \( \overrightarrow{p}=(x~,~y~,~z) \) とおくと、

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\( \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{p} \) より、内積 \( \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p}=0 \) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~0\cdot x+1\cdot y+(-2)\cdot z&=&0
\\[3pt]~y-2z&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\( \overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{p} \) より、内積 \( \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{p}=0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~1\cdot x+1\cdot y+(-1)\cdot z&=&0
\\[3pt]~~~x+y-z&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

---

\( \overrightarrow{p} \) が単位ベクトルより、\( |\,\overrightarrow{p}\,|=1 \) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{x^2+y^2+z^2}&=&1
\\[3pt]~~~x^2+y^2+z^2&=&1~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) より \( y=2z~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}\)

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これを \({\small [\,2\,]}\) に代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~x+2z-z&=&0
\\[3pt]~~~x+z&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-z~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{eqnarray}\)

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よって、\({\small [\,4\,]}\)、\({\small [\,5\,]}\) を \({\small [\,3\,]}\) に代入すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~(-z)^2+(2z)^2+z^2&=&1
\\[3pt]~~~z^2+4z^2+z^2&=&1
\\[3pt]~~~6z^2&=&1
\\[5pt]~~~z^2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~z&=&\pm \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{6}\,}\end{eqnarray}\)

---

\(z=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{6}\,}\) のとき、

---

　\(\small [\,4\,]\) より、\(y=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{6}\,}\)
　\(\small [\,5\,]\) より、\(x=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{6}\,}\)

---

\(z=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{6}\,}\) のとき、

---

　\(\small [\,4\,]\) より、\(y=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{6}\,}\)
　\(\small [\,5\,]\) より、\(x=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{6}\,}\)

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分母を有理化すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{6}\,}&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{6}\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)

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したがって、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{p}&=&\left(-\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,6\,}~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,6\,}\right)~,~\\[5pt]~~~&&~\left(\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,6\,}~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,6\,}\right)\end{eqnarray}\)

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となる

東京書籍｜Standard数学Ｃ[702] p.67 Training 23

求めるベクトルを \( \overrightarrow{p}=(x~,~y~,~z) \) とおくと、

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\( \overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{p} \) より、内積 \( \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{p}=0 \) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~1\cdot x+(-3)\cdot y+2\cdot z&=&0
\\[3pt]~x-3y+2z&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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\( \overrightarrow{b} \perp \overrightarrow{p} \) より、内積 \( \overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{p}=0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~(-2)\cdot x+1\cdot y+(-4)\cdot z&=&0
\\[3pt]~~~-2x+y-4z&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)

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\( \overrightarrow{p} \) が単位ベクトルより、\( |\,\overrightarrow{p}\,|=1 \) となるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\sqrt{x^2+y^2+z^2}&=&1
\\[3pt]~~~x^2+y^2+z^2&=&1~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}+3\times{\small [\,2\,]}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~-5x-10z&=&0
\\[3pt]~~~x+2z&=&0
\\[3pt]~~~x&=&-2z~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)

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これを \({\small [\,1\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~-2z-3y+2z&=&0
\\[3pt]~~~-3y&=&0
\\[3pt]~~~y&=&0~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{eqnarray}\)

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よって、\({\small [\,4\,]}\)、\({\small [\,5\,]}\) を \({\small [\,3\,]}\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~(-2z)^2+0^2+z^2&=&1
\\[3pt]~~~4z^2+z^2&=&1
\\[3pt]~~~5z^2&=&1
\\[5pt]~~~z^2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~z&=&\pm \displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}\end{eqnarray}\)

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\(z=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}\) のとき、

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　\(\small [\,5\,]\) より、\(y=0\)
　\(\small [\,4\,]\) より、\(x=-\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}\)

---

\(z=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}\) のとき、

---

　\(\small [\,5\,]\) より、\(y=0\)
　\(\small [\,4\,]\) より、\(x=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}\)

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分母を有理化すると、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{5}\,}&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,5\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{5}\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,5\,}
\end{eqnarray}\)

---

したがって、

---

\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{p}&=&\left(-\displaystyle \frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,5\,}~,~0~,~\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,5\,}\right)~,~\\[5pt]~~~&&~\left(\displaystyle \frac{\,2\sqrt{5}\,}{\,5\,}~,~0~,~-\displaystyle \frac{\,\sqrt{5}\,}{\,5\,}\right)\end{eqnarray}\)

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となる