成分表示の空間ベクトルの平行と垂直

\( \overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b} \) より、\( \overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a} \) となる実数 \( k \) があるので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}p\\[2pt]4\\[2pt]r+2\end{array}\,\right)&=&k\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)

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それぞれの成分が等しいので、

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\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
p=k \hspace{22pt}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]} \\ 4=2k \hspace{17pt}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]} \\ r+2=3k ~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)

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\(\small [\,2\,]\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~2k&=&4
\\[3pt]~~~k&=&2\end{eqnarray}\)

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\(\small [\,1\,]\) より、\( p=2 \)

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\(\small [\,3\,]\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~r+2&=&3\cdot 2
\\[3pt]~~~r&=&6-2
\\[3pt]~~~r&=&4\end{eqnarray}\)

 

また、\( \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{c} \) より、\( \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0 \) となるので、

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\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{c}=\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]q-4\\[2pt]2\end{array}\,\right)\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~1\cdot 2+2\cdot (q-4)+3\cdot 2&=&0
\\[3pt]~~~2+2q-8+6&=&0
\\[3pt]~~~2q&=&0
\\[3pt]~~~q&=&0\end{eqnarray}\)

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したがって、\( p=2~,~q=0~,~r=4 \) となる