このページは、「成分表示の空間ベクトルの平行と垂直」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\( \overrightarrow{a}=(2~,~ -1~,~ -5)~,~\)\( \overrightarrow{b}=(3x~,~ 6~,~ 4y-2)~,~\)\( \overrightarrow{c}=(z-1~,~ 2~,~ z+1) \) とする。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{a} \,//\,\overrightarrow{b} \)であるように、\(x~,~y\) の値を定めよ。
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c} \)であるように、\(z\) の値を定めよ。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{a} \,//\,\overrightarrow{b} \)であるように、\(x~,~y\) の値を定めよ。
\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{c} \)であるように、\(z\) の値を定めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.65 問題 17
\({\small (1)}~\)\( \overrightarrow{a}\,//\,\overrightarrow{b} \) より、\( \overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a} \) となる実数 \( k \) があるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\,\begin{array}{c}3x\\[2pt]6\\[2pt]4y-2\end{array}\,\right)&=&k\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]-1\\[2pt]-5\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
それぞれの成分が等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
3x=2k \hspace{22pt}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]} \\ 6=-k \hspace{22pt}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]} \\ 4y-2=-5k ~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-k&=&6
\\[3pt]~~~k&=&-6\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~3x&=&2\cdot (-6)
\\[3pt]~~~3x&=&-12
\\[3pt]~~~x&=&-4\end{eqnarray}\)
\(\small [\,3\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~4y-2&=&-5\cdot (-6)
\\[3pt]~~~4y-2&=&30
\\[3pt]~~~4y&=&32
\\[3pt]~~~y&=&8\end{eqnarray}\)
したがって、\( x=-4~,~y=8 \) となる
\({\small (2)}~\)\( \overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{c} \) より、\( \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}=0 \) となるので、
\(\overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]-1\\[2pt]-5\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{c}=\left(\,\begin{array}{c}z-1\\[2pt]2\\[2pt]z+1\end{array}\,\right)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~2\cdot (z-1)+(-1)\cdot 2+(-5)\cdot (z+1)&=&0
\\[3pt]~~~2z-2-2-5z-5&=&0
\\[3pt]~~~-3z-9&=&0
\\[3pt]~~~-3z&=&9
\\[3pt]~~~z&=&-3\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~2z-2-2-5z-5&=&0
\\[3pt]~~~-3z-9&=&0
\\[3pt]~~~-3z&=&9
\\[3pt]~~~z&=&-3\end{eqnarray}\)
したがって、\( z=-3 \) となる
