- 数学C｜空間ベクトル「立体のなす角が不明のベクトルの内積」の基本例題解説ページです。
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問題｜立体のなす角が不明のベクトルの内積
空間ベクトル 21☆1辺の長さ \(2\) の立方体 \(\rm ABCD-EFGH \) において、内積 \(\overrightarrow{\rm AF} \cdot \overrightarrow{\rm AG}\) と \(\cos \angle {\rm FAG}\) の値の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
立体のなす角が不明のベクトルの内積
Point：立体のなす角が不明のベクトルの内積
① ベクトルの分解を用いて、一方のベクトルを2つのベクトルの和で表す。
\(\overrightarrow{\rm AF}\cdot\overrightarrow{\rm AG}\) において、
\(\overrightarrow{\rm AG}=\overrightarrow{\rm AF}+\overrightarrow{\rm FG}\) より、
\(\overrightarrow{\rm AF}\cdot\overrightarrow{\rm AG}=\overrightarrow{\rm AF}\cdot(\overrightarrow{\rm AF}+\overrightarrow{\rm FG})\)
② 内積の分配法則を用いて計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}\cdot\overrightarrow{\rm AG}&=&\overrightarrow{\rm AF}\cdot(\overrightarrow{\rm AF}+\overrightarrow{\rm FG})
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{\rm AF}\,|^2+\overrightarrow{\rm AF}\cdot\overrightarrow{\rm FG}\end{eqnarray}\)
立体において、なす角がわかっていないときの内積の求め方は、
① ベクトルの分解を用いて、一方のベクトルを2つのベクトルの和で表す。
\(\overrightarrow{\rm AF}\cdot\overrightarrow{\rm AG}\) において、
\(\overrightarrow{\rm AG}=\overrightarrow{\rm AF}+\overrightarrow{\rm FG}\) より、
\(\overrightarrow{\rm AF}\cdot\overrightarrow{\rm AG}=\overrightarrow{\rm AF}\cdot(\overrightarrow{\rm AF}+\overrightarrow{\rm FG})\)
② 内積の分配法則を用いて計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}\cdot\overrightarrow{\rm AG}&=&\overrightarrow{\rm AF}\cdot(\overrightarrow{\rm AF}+\overrightarrow{\rm FG})
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{\rm AF}\,|^2+\overrightarrow{\rm AF}\cdot\overrightarrow{\rm FG}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜立体のなす角が不明のベクトルの内積
空間ベクトル 21☆
1辺の長さ \(2\) の立方体 \(\rm ABCD-EFGH \) において、内積 \(\overrightarrow{\rm AF} \cdot \overrightarrow{\rm AG}\) と \(\cos \angle {\rm FAG}\) の値の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
\(\overrightarrow{\rm AG}=\overrightarrow{\rm AF}+\overrightarrow{\rm FG}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}\cdot\overrightarrow{\rm AG}&=&\overrightarrow{\rm AF}\cdot(\overrightarrow{\rm AF}+\overrightarrow{\rm FG})
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm AF}\cdot\overrightarrow{\rm AF}+\overrightarrow{\rm AF}\cdot\overrightarrow{\rm FG}
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{\rm AF}\,|^2+\overrightarrow{\rm AF}\cdot\overrightarrow{\rm FG}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、長方形 \(\rm AFGD\) より、
\(|\,\overrightarrow{\rm AF}\,|=2\sqrt{2}\) ※ 正方形 \({\rm AEFB}\) の対角線
\(\overrightarrow{\rm AF}\perp\overrightarrow{\rm FG}\) より、\(\overrightarrow{\rm AF}\cdot\overrightarrow{\rm FG}=0\)
これを \(\small [\,1\,]\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}\cdot\overrightarrow{\rm AG}&=&\left(2\sqrt{2}\right)^2+0
\\[3pt]~~~&=&8
\end{eqnarray}\)
また、\(\overrightarrow{\rm AG}\) の大きさは三平方の定理より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm AG}\,|^2&=&|\,\overrightarrow{\rm AF}\,|^2+|\,\overrightarrow{\rm FG}\,|^2
\\[3pt]~~~&=&\left(2\sqrt{2}\right)^2+2^2
\\[3pt]~~~&=&8+4
\\[3pt]~~~&=&12\end{eqnarray}\)
よって、\(|\,\overrightarrow{\rm AG}\,|=2\sqrt{3}\)
以上より、内積の定義の式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}\cdot\overrightarrow{\rm AG}&=&|\,\overrightarrow{\rm AF}\,|\cdot|\,\overrightarrow{\rm AG}\,|\cdot\cos\angle{\rm FAG}
\\[3pt]~~~8&=&2\sqrt{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot\cos\angle{\rm FAG}
\\[3pt]~~~4\sqrt{6}\cos\angle{\rm FAG}&=&8
\\[5pt]~~~\cos\angle{\rm FAG}&=&\displaystyle \frac{\,8\,}{\,4\sqrt{6}\,}
\\[5pt]~~~\cos\angle{\rm FAG}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{6}\,}
\\[5pt]~~~\cos\angle{\rm FAG}&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~\cos\angle{\rm FAG}&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\overrightarrow{\rm AF}\cdot\overrightarrow{\rm AG}=8~,~\cos\angle{\rm FAG}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}\)
