立体のなす角が不明のベクトルの内積

数研出版｜数学Ｃ[708] p.81 演習問題A 1

\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm DF}=\overrightarrow{\rm DE}+\overrightarrow{\rm EF}\) より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm DE}\cdot\overrightarrow{\rm DF}&=&\overrightarrow{\rm DE}\cdot(\overrightarrow{\rm DE}+\overrightarrow{\rm EF})
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm DE}\cdot\overrightarrow{\rm DE}+\overrightarrow{\rm DE}\cdot\overrightarrow{\rm EF}
\\[3pt]~~~&=&|\,\overrightarrow{\rm DE}\,|^2+\overrightarrow{\rm DE}\cdot\overrightarrow{\rm EF}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)

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ここで、正方形 \({\rm ADHE}\) より、

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　\(|\,\overrightarrow{\rm DE}\,|=\sqrt{2}\)　※ 正方形 \({\rm ADHE}\) の対角線

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　\(\overrightarrow{\rm DE}\perp\overrightarrow{\rm EF}\) より、\(\overrightarrow{\rm DE}\cdot\overrightarrow{\rm EF}=0\)

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これを \(\small [\,1\,]\) に代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm DE}\cdot\overrightarrow{\rm DF}&=&\left(\sqrt{2}\right)^2+0
\\[3pt]~~~&=&2
\end{eqnarray}\)

 

\({\small (2)}~\)\(\overrightarrow{\rm DF}\) の大きさは三平方の定理より、

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\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm DF}\,|^2&=&|\,\overrightarrow{\rm DE}\,|^2+|\,\overrightarrow{\rm EF}\,|^2
\\[3pt]~~~&=&\left(\sqrt{2}\right)^2+1^2
\\[3pt]~~~&=&2+1
\\[3pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)

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よって、\(|\,\overrightarrow{\rm DF}\,|=\sqrt{3}\)

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以上より、内積の定義の式より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm DE}\cdot\overrightarrow{\rm DF}&=&|\,\overrightarrow{\rm DE}\,|\cdot|\,\overrightarrow{\rm DF}\,|\cdot\cos\angle{\rm EDF}
\\[3pt]~~~2&=&\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}\cdot\cos\angle{\rm EDF}
\\[3pt]~\sqrt{6}\cos\angle{\rm EDF}&=&2
\\[5pt]~\cos\angle{\rm EDF}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{6}\,}
\\[5pt]~~~\cos\angle{\rm EDF}&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~\cos\angle{\rm EDF}&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(\overrightarrow{\rm DE}\cdot\overrightarrow{\rm DF}=2~,~\cos\angle{\rm EDF}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}\)

数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.73 章末問題A 4

\({\small (1)}\)　図より、各頂点の座標は、

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　\({\rm O}(0\,,\,0\,,\,0)\)，\({\rm A}(2\,,\,0\,,\,0)\)，\({\rm B}(2\,,\,2\,,\,0)\)，\({\rm C}(0\,,\,2\,,\,0)\)
　\({\rm D}(0\,,\,0\,,\,2)\)，\({\rm E}(2\,,\,0\,,\,2)\)，\({\rm F}(2\,,\,2\,,\,2)\)，\({\rm G}(0\,,\,2\,,\,2)\)

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よって、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OB}&=&(2-0\,,\,2-0\,,\,0-0)\\[3pt]~~~&=&(2\,,\,2\,,\,0)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm CF}&=&(2-0\,,\,2-2\,,\,2-0)\\[3pt]~~~&=&(2\,,\,0\,,\,2)\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(\overrightarrow{\rm OB}=(2\,,\,2\,,\,0)~,~\overrightarrow{\rm CF}=(2\,,\,0\,,\,2)\)

 

\({\small (2)}\)　内積の成分計算より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OB}\cdot\overrightarrow{\rm CF}&=&2\cdot2+2\cdot0+0\cdot2\\[3pt]~~~&=&4+0+0\\[3pt]~~~&=&4\end{eqnarray}\)

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したがって、

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　\(\overrightarrow{\rm OB}\cdot\overrightarrow{\rm CF}=4\)

 

\({\small (3)}\)　\(\overrightarrow{\rm OB}\) と \(\overrightarrow{\rm CF}\) の大きさは、

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\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm OB}\,|&=&\sqrt{2^2+2^2+0^2}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{8}\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{2}\end{eqnarray}\)

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\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm CF}\,|&=&\sqrt{2^2+0^2+2^2}\\[3pt]~~~&=&\sqrt{8}\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{2}\end{eqnarray}\)

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なす角を \(\theta\) とすると、内積の定義より、

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\(\begin{eqnarray}~~~\cos\theta&=&\displaystyle\frac{\,\overrightarrow{\rm OB}\cdot\overrightarrow{\rm CF}\,}{\,|\,\overrightarrow{\rm OB}\,||\,\overrightarrow{\rm CF}\,|\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,4\,}{\,2\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,4\,}{\,8\,}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle\frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)

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\(0°{\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180°\) より、なす角は \(60°\)