- 数学C｜空間ベクトル「空間における三角形の面積」の基本例題解説ページです。
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問題｜空間における三角形の面積
空間ベクトル 22☆空間の3点 \( {\rm A}(0~,~ -1~,~ 1)~,~\)\( {\rm B}(-2~,~ 3~,~ -1)~,~\)\({\rm C}(1~,~ 0~,~ -1) \) を頂点とする \(\triangle {\rm ABC}\) の面積の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
空間における三角形の面積
Point：空間における三角形の面積
① 2つのベクトル \( \overrightarrow{\rm AB}~,~\overrightarrow{\rm AC} \) の成分より、内積とそれぞれの大きさを求める。
\( \overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=6 \)
\( |\,\overrightarrow{\rm AB}\,|=2\sqrt{6} \) , \( |\,\overrightarrow{\rm AC}\,|=\sqrt{6} \)
② \( \overrightarrow{\rm AB} \) と \( \overrightarrow{\rm AC} \) のなす角を \( \theta \) とし、内積の定義の式より、\( \cos\theta \) の値を求めて \(\theta\) を求める。
\( \overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|\,|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|\cdot\cos\theta \) より、
\( \cos\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \) となり、\(\theta=60^\circ\)
③ 2辺の大きさとその間の角の \( \sin \) より、三角形の面積を求める。
\( \triangle {\rm ABC}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|\,|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|\cdot\sin\theta \)
空間の3点の座標からこの3点を頂点とする三角形の面積は、
① 2つのベクトル \( \overrightarrow{\rm AB}~,~\overrightarrow{\rm AC} \) の成分より、内積とそれぞれの大きさを求める。
\( \overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=6 \)
\( |\,\overrightarrow{\rm AB}\,|=2\sqrt{6} \) , \( |\,\overrightarrow{\rm AC}\,|=\sqrt{6} \)
② \( \overrightarrow{\rm AB} \) と \( \overrightarrow{\rm AC} \) のなす角を \( \theta \) とし、内積の定義の式より、\( \cos\theta \) の値を求めて \(\theta\) を求める。
\( \overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|\,|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|\cdot\cos\theta \) より、
\( \cos\theta=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,} \) となり、\(\theta=60^\circ\)
③ 2辺の大きさとその間の角の \( \sin \) より、三角形の面積を求める。
\( \triangle {\rm ABC}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|\,|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|\cdot\sin\theta \)
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詳しい解説｜空間における三角形の面積
空間ベクトル 22☆
空間の3点 \( {\rm A}(0~,~ -1~,~ 1)~,~\)\( {\rm B}(-2~,~ 3~,~ -1)~,~\)\({\rm C}(1~,~ 0~,~ -1) \) を頂点とする \(\triangle {\rm ABC}\) の面積の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
点 \({\rm O}\) を原点として、
\(\begin{eqnarray} \overrightarrow{\rm AB}&=&\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]3\\[2pt]-1\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-2-0\\[2pt]3+1\\[2pt]-1-1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]4\\[2pt]-2\end{array}\,\right) \end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray} \overrightarrow{\rm AC}&=&\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1-0\\[2pt]0+1\\[2pt]-1-1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{array}\,\right) \end{eqnarray}\)
\( \overrightarrow{\rm AB} \) と \( \overrightarrow{\rm AC} \) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}&=&-2\cdot 1+4\cdot 1+(-2)\cdot(-2)
\\[3pt]~~~&=&-2+4+4
\\[3pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
\( \overrightarrow{\rm AB} \) と \( \overrightarrow{\rm AC} \) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|&=&\sqrt{(-2)^2+4^2+(-2)^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{4+16+4}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{24}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|&=&\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{1+1+4}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
\( \overrightarrow{\rm AB} \) と \( \overrightarrow{\rm AC} \) のなす角を \( \theta \) とし、内積の定義の式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}&=&|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|\cdot|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|\cdot\cos\theta
\\[5pt]~~~6&=&2\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}\cdot\cos\theta
\\[5pt]~~~12\cos\theta&=&6
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\( 0^\circ {\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ \) より、\(\theta=60^\circ \)
よって、\( \triangle {\rm ABC} \) の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|\cdot|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|\cdot\sin\theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 2\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}\cdot\sin 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&6\cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&3\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
