- 数学C｜空間ベクトル「四面体の垂直条件と四面体の体積」の基本例題解説ページです。
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問題｜四面体の垂直条件と四面体の体積
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
四面体の垂直条件と四面体の体積
空間ベクトルにおいて、2つのベクトルが垂直であることの証明方法は、
① 2つのベクトルを成分に直す。
② 成分による内積の計算をし、\(0\) となることを示す。
\( \overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0} \) のとき、
\( \overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}~\Leftrightarrow ~ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0 \)
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詳しい解説｜四面体の垂直条件と四面体の体積
四面体 \(\rm PABC \) の頂点が \({\rm P}(-1~,~ -2~,~ 0)~,~\)\( {\rm A}(0~,~ -1~,~ 1)~,~\)\({\rm B}(-2~,~ 3~,~ -1)~,~\)\({\rm C}(1~,~ 0~,~ -1) \) のとき、\({\rm PA} \perp {\rm AB} \) と \({\rm PA} \perp {\rm AC} \) を示し、四面体 \(\rm PABC \) の体積を求める方法は？
高校数学C｜空間ベクトル
原点を \( \rm O \) として、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm PA}&=&\overrightarrow{\rm OA}-\overrightarrow{\rm OP}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}-1\\[2pt]-2\\[2pt]0\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}0+1\\[2pt]-1+2\\[2pt]1+0\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}&=&\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]3\\[2pt]-1\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-2-0\\[2pt]3+1\\[2pt]-1-1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-2\\[2pt]4\\[2pt]-2\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AC}&=&\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1-0\\[2pt]0+1\\[2pt]-1-1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
ここで、\(\overrightarrow{\rm PA}\) と \(\overrightarrow{\rm AB}\) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm PA}\cdot\overrightarrow{\rm AB}&=&1\cdot(-2)+1\cdot4+1\cdot(-2)
\\[3pt]~~~&=&-2+4-2
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm PA}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm AB}\neq\overrightarrow{0}\) より、\( {\rm PA}\perp{\rm AB} \)
また、\(\overrightarrow{\rm PA}\) と \(\overrightarrow{\rm AC}\) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm PA}\cdot\overrightarrow{\rm AC}&=&1\cdot1+1\cdot1+1\cdot(-2)
\\[3pt]~~~&=&1+1-2
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm PA}\neq\overrightarrow{0}~,~\overrightarrow{\rm AC}\neq\overrightarrow{0}\) より、\( {\rm PA}\perp{\rm AC} \)
ここで、\(\triangle {\rm ABC}\) の面積は、
\( \overrightarrow{\rm AB} \) と \( \overrightarrow{\rm AC} \) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}&=&-2\cdot 1+4\cdot 1+(-2)\cdot(-2)
\\[3pt]~~~&=&-2+4+4
\\[3pt]~~~&=&6\end{eqnarray}\)
\( \overrightarrow{\rm AB} \) と \( \overrightarrow{\rm AC} \) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|&=&\sqrt{(-2)^2+4^2+(-2)^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{4+16+4}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{24}
\\[3pt]~~~&=&2\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|&=&\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{1+1+4}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{6}\end{eqnarray}\)
\( \overrightarrow{\rm AB} \) と \( \overrightarrow{\rm AC} \) のなす角を \( \theta \) とし、内積の定義の式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm AC}&=&|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|\cdot|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|\cdot\cos\theta
\\[5pt]~~~6&=&2\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}\cdot\cos\theta
\\[5pt]~~~12\cos\theta&=&6
\\[5pt]~~~\cos\theta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\( 0^\circ {\small ~≦~}\theta{\small ~≦~}180^\circ \) より、\(\theta=60^\circ \)
よって、\( \triangle {\rm ABC} \) の面積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\triangle {\rm ABC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot|\,\overrightarrow{\rm AB}\,|\cdot|\,\overrightarrow{\rm AC}\,|\cdot\sin\theta
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot 2\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}\cdot\sin 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&6\cdot \displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&3\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
\({\rm PA}\perp{\rm AB}~,~{\rm PA}\perp{\rm AC}\) より、四面体 \( \rm PABC \) の体積は \( \triangle \rm ABC \) が底面、\( \rm PA \) が高さとなるので、
\(\overrightarrow{\rm PA}\) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm PA}\,|&=&\sqrt{1^2+1^2+1^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{3}\end{eqnarray}\)
したがって、四面体 \( \rm PABC \) の体積 \( \rm V \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~V&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot\triangle \rm ABC\cdot|\,\overrightarrow{\rm PA}\,|
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\cdot3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}
\\[5pt]~~~&=&3\end{eqnarray}\)
