- 数学C｜空間ベクトル「空間ベクトルの大きさの最小値」の基本例題解説ページです。
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問題｜空間ベクトルの大きさの最小値
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
空間ベクトルの大きさの最小値
成分表示の空間ベクトル \(\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}\) についての \(|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|\) の最小値は、
① \(\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\) の成分を計算する。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}2+t\\[2pt]1\\[2pt]1-t\end{array}\,\right)
\end{eqnarray}\)
② 大きさの2乗 \(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\) を計算する。
※ \(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|\) のままだと全体に平方根が付くので、計算しやすいように2乗する。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2
=2t^2+2t+6\end{eqnarray}\)
③ 平方完成して、\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\) の最小値を求める。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2=2\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,11\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
④ 平方根をとった値が \(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|\) の最小値となる。
※ \(t\) の値は③と同じ値で最小値をとる。
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|
&=&\sqrt{\,2\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,11\,}{\,2\,}\,}
\end{eqnarray}\)
よって、\(t=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) で最小値 \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{22}\,}{\,2\,}\)
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詳しい解説｜空間ベクトルの大きさの最小値
\( \overrightarrow{a}=(2~,~1~,~1)~,~\)\( \overrightarrow{b}=(1~,~ 0~,~-1) \) のとき、\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|\) の最小値の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
\(\begin{eqnarray}\overrightarrow{a}&=&\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]1\\[2pt]1\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]1\\[2pt]1\end{array}\,\right)+t\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]0\\[2pt]-1\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}2+t\\[2pt]1\\[2pt]1-t\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
よって、\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2
\\[5pt]~~~&=&(2+t)^2+1^2+(1-t)^2
\\[5pt]~~~&=&4+4t+t^2+1+1-2t+t^2
\\[5pt]~~~&=&2t^2+2t+6
\\[5pt]~~~&=&2\left(t^2+t\right)+6
\\[5pt]~~~&=&2\left(t^2+t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)+6
\\[5pt]~~~&=&2\left(t^2+t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)+2\left(-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\right)+6
\\[5pt]~~~&=&2\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}+6
\\[5pt]~~~&=&2\left(t+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\right)^2+\displaystyle \frac{\,11\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
これより、\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\) は \(t=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、最小値 \(\displaystyle \frac{\,11\,}{\,2\,}\) をとるので、
\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|\) は、\(t=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) のとき、
最小値 \(\sqrt{\displaystyle \frac{\,11\,}{\,2\,}}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{22}\,}{\,2\,}\) をとる
