このページは、「空間ベクトルの大きさの最小値」の練習問題アーカイブページとなります。
この問題の解き方の詳細は↓
空間ベクトルの大きさの最小値 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\(\overrightarrow{a}=(1~,~3~,~-2)~,~\overrightarrow{b}=(1~,~-2~,~0)\) と実数 \(t\) に対し、次の問いに答えよ。
\({\small (1)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\) を \(t\) の式で表せ。 \({\small (2)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|\) の最小値を求めよ。
\({\small (1)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\) を \(t\) の式で表せ。 \({\small (2)}~\)\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|\) の最小値を求めよ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.80 問題 2
\(\begin{eqnarray}\overrightarrow{a}&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]3\\[2pt]-2\end{array}\,\right)~,~\overrightarrow{b}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]-2\\[2pt]0\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]3\\[2pt]-2\end{array}\,\right)+t\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]-2\\[2pt]0\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1+t\\[2pt]3-2t\\[2pt]-2\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
よって、\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\) の値は、
\(\begin{eqnarray}~~~&&|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2
\\[5pt]~~~&=&(1+t)^2+(3-2t)^2+(-2)^2
\\[5pt]~~~&=&1+2t+t^2+9-12t+4t^2+4
\\[5pt]~~~&=&5t^2-10t+14
\\[5pt]~~~&=&5\left(t^2-2t\right)+14
\\[5pt]~~~&=&5\left(t^2-2t+1-1\right)+14
\\[5pt]~~~&=&5\left(t^2-2t+1\right)+5\left(-1\right)+14
\\[5pt]~~~&=&5\left(t-1\right)^2-5+14
\\[5pt]~~~&=&5\left(t-1\right)^2+9\end{eqnarray}\)
これより、\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|^2\) は \(t=1\) のとき、最小値 \(9\) をとるので、
\(|\,\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\,|\) は、\(t=1\) のとき、
最小値 \(\sqrt{9}=3\) をとる
