- 数学C｜空間ベクトル「空間ベクトルと軸とのなす角」の基本例題解説ページです。
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問題｜空間ベクトルと軸とのなす角
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
空間ベクトルと軸とのなす角
空間ベクトルと軸とのなす角の求め方は、
① 軸に関する基本ベクトルを設定する。
\( x \) 軸に関する基本ベクトルを、
\( \overrightarrow{e_1}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{array}\,\right) ~,~|\,\overrightarrow{e_1}\,|=1 \) とする
② \( \overrightarrow{a} \) との内積の定義の式より、\( \cos\alpha \) を求める。
\( |\,\overrightarrow{a}\,|=\sqrt{6}~,~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_1}=2 \) より、
\( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_1}=|\,\overrightarrow{a}\,|\,|\,\overrightarrow{e_1}\,|\cos\alpha \)
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詳しい解説｜空間ベクトルと軸とのなす角
\( \overrightarrow{a}=(2~,~1~,~1)\) が \(x\) 軸、\(y\) 軸、\(z\) 軸の正の向きとなす角をそれぞれ \(\alpha~,~\beta~,~\gamma\) とするとき、\(\cos \alpha~,~\)\(\cos \beta~,~\)\(\cos \gamma\) の値の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
\( \overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]1\\[2pt]1\end{array}\,\right) \) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{2^2+1^2+1^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}
\end{eqnarray}\)
\(x\) 軸に関する基本ベクトルを \( \overrightarrow{e_1}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{array}\,\right)~,~|\,\overrightarrow{e_1}\,|=1 \) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_1}&=&2\cdot1+1\cdot0+1\cdot0
\\[3pt]~~~&=&2
\end{eqnarray}\)
よって、\( \overrightarrow{a} \) と \(x\) 軸のなす角が \( \alpha \) より、内積の定義の式は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_1}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\cdot|\,\overrightarrow{e_1}\,|\cos\alpha
\\[5pt]~~~2&=&\sqrt{6}\cdot1\cdot\cos\alpha
\\[5pt]~~~\cos\alpha&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,\sqrt{6}\,}
\\[5pt]~~~\cos\alpha&=&\displaystyle \frac{\,2\sqrt{6}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~\cos\alpha&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(y\) 軸に関する基本ベクトルを \( \overrightarrow{e_2}=\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{array}\,\right)~,~|\,\overrightarrow{e_2}\,|=1 \) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_2}&=&2\cdot0+1\cdot1+1\cdot0
\\[3pt]~~~&=&1
\end{eqnarray}\)
よって、\( \overrightarrow{a} \) と \(y\) 軸のなす角が \( \beta \) より、内積の定義の式は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_2}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\cdot|\,\overrightarrow{e_2}\,|\cos\beta
\\[5pt]~~~1&=&\sqrt{6}\cdot1\cdot\cos\beta
\\[5pt]~~~\cos\beta&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{6}\,}
\\[5pt]~~~\cos\beta&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
\(z\) 軸に関する基本ベクトルを \( \overrightarrow{e_3}=\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{array}\,\right)~,~|\,\overrightarrow{e_3}\,|=1 \) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_3}&=&2\cdot0+1\cdot0+1\cdot1
\\[3pt]~~~&=&1
\end{eqnarray}\)
よって、\( \overrightarrow{a} \) と \(z\) 軸のなす角が \( \gamma \) より、内積の定義の式は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_3}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\cdot|\,\overrightarrow{e_3}\,|\cos\gamma
\\[5pt]~~~1&=&\sqrt{6}\cdot1\cdot\cos\gamma
\\[5pt]~~~\cos\gamma&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,\sqrt{6}\,}
\\[5pt]~~~\cos\gamma&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos\alpha=\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}~,~\cos\beta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,6\,}~,~\cos\gamma=\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,6\,}\)
