このページは、「空間ベクトルと軸とのなす角」の練習問題アーカイブページとなります。
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空間ベクトルと軸とのなす角 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01ベクトル \( \overrightarrow{a}=(1~,~2~,~2) \) が \(x\) 軸、\(y\) 軸、\(z\) 軸の正の向きとなす角を、それぞれ \(\alpha~,~\beta~,~\gamma\) とするとき、\(\cos \alpha~,~\)\(\cos \beta~,~\)\(\cos \gamma\) の値を求めよ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.80 問題 3
\( \overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]2\\[2pt]2\end{array}\,\right) \) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{1^2+2^2+2^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3
\end{eqnarray}\)
\(x\) 軸に関する基本ベクトルを \( \overrightarrow{e_1}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{array}\,\right)~,~|\,\overrightarrow{e_1}\,|=1 \) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_1}&=&1\cdot1+2\cdot0+2\cdot0
\\[3pt]~~~&=&1
\end{eqnarray}\)
よって、\( \overrightarrow{a} \) と \(x\) 軸のなす角が \( \alpha \) より、内積の定義の式は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_1}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\cdot|\,\overrightarrow{e_1}\,|\cos\alpha
\\[5pt]~1&=&3\cdot1\cdot\cos\alpha
\\[5pt]~~~\cos\alpha&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(y\) 軸に関する基本ベクトルを \( \overrightarrow{e_2}=\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{array}\,\right)~,~|\,\overrightarrow{e_2}\,|=1 \) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_2}&=&1\cdot0+2\cdot1+2\cdot0
\\[3pt]~~~&=&2
\end{eqnarray}\)
よって、\( \overrightarrow{a} \) と \(y\) 軸のなす角が \( \beta \) より、内積の定義の式は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_2}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\cdot|\,\overrightarrow{e_2}\,|\cos\beta
\\[5pt]~~~2&=&3\cdot1\cdot\cos\beta
\\[5pt]~~~\cos\beta&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\(z\) 軸に関する基本ベクトルを \( \overrightarrow{e_3}=\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{array}\,\right)~,~|\,\overrightarrow{e_3}\,|=1 \) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_3}&=&1\cdot0+2\cdot0+2\cdot1
\\[3pt]~~~&=&2
\end{eqnarray}\)
よって、\( \overrightarrow{a} \) と \(z\) 軸のなす角が \( \gamma \) より、内積の定義の式は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_3}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\cdot|\,\overrightarrow{e_3}\,|\cos\gamma
\\[5pt]~~~2&=&3\cdot1\cdot\cos\gamma
\\[5pt]~~~\cos\gamma&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos\alpha=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\cos\beta=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}~,~\cos\gamma=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02\(\overrightarrow{e_1}~,~\overrightarrow{e_2}~,~\overrightarrow{e_3}\) を、それぞれ \(x\) 軸、\(y\) 軸、\(z\) 軸に関する基本ベクトルとし、ベクトル \( \overrightarrow{a}=(-1~,~\sqrt{2}~,~1) \) と \(\overrightarrow{e_1}~,~\overrightarrow{e_2}~,~\overrightarrow{e_3}\) のなす角を、それぞれ \(\alpha~,~\beta~,~\gamma\) とする。
\({\small (1)}~\) \(\cos \alpha~,~\)\(\cos \beta~,~\)\(\cos \gamma\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(\alpha~,~\beta~,~\gamma\) を求めよ。
\({\small (1)}~\) \(\cos \alpha~,~\)\(\cos \beta~,~\)\(\cos \gamma\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(\alpha~,~\beta~,~\gamma\) を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.73 章末問題A 5
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.73 章末問題B 8
\({\small (1)}~\)\( \overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}-1\\[2pt]\sqrt{2}\\[2pt]1\end{array}\,\right) \) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{(-1)^2+(\sqrt{2})^2+1^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{1+2+1}=\sqrt{4}=2
\end{eqnarray}\)
\(x\) 軸に関する基本ベクトルを \( \overrightarrow{e_1}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{array}\,\right)~,~|\,\overrightarrow{e_1}\,|=1 \) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_1}&=&(-1)\cdot1+\sqrt{2}\cdot0+1\cdot0
\\[3pt]~~~&=&-1
\end{eqnarray}\)
よって、\( \overrightarrow{a} \) と \(x\) 軸のなす角が \( \alpha \) より、内積の定義の式は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_1}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\cdot|\,\overrightarrow{e_1}\,|\cos\alpha
\\[5pt]~-1&=&2\cdot1\cdot\cos\alpha
\\[5pt]~~~\cos\alpha&=&-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(y\) 軸に関する基本ベクトルを \( \overrightarrow{e_2}=\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{array}\,\right)~,~|\,\overrightarrow{e_2}\,|=1 \) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_2}&=&(-1)\cdot0+\sqrt{2}\cdot1+1\cdot0
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{2}
\end{eqnarray}\)
よって、\( \overrightarrow{a} \) と \(y\) 軸のなす角が \( \beta \) より、内積の定義の式は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_2}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\cdot|\,\overrightarrow{e_2}\,|\cos\beta
\\[5pt]~~~\sqrt{2}&=&2\cdot1\cdot\cos\beta
\\[5pt]~~~\cos\beta&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(z\) 軸に関する基本ベクトルを \( \overrightarrow{e_3}=\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{array}\,\right)~,~|\,\overrightarrow{e_3}\,|=1 \) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_3}&=&(-1)\cdot0+\sqrt{2}\cdot0+1\cdot1
\\[3pt]~~~&=&1
\end{eqnarray}\)
よって、\( \overrightarrow{a} \) と \(z\) 軸のなす角が \( \gamma \) より、内積の定義の式は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_3}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\cdot|\,\overrightarrow{e_3}\,|\cos\gamma
\\[5pt]~~~1&=&2\cdot1\cdot\cos\gamma
\\[5pt]~~~\cos\gamma&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\cos\alpha=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}~,~\cos\beta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}~,~\cos\gamma=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\)
\({\small (2)}~\)\(0°{\small ~≦~}\alpha{\small ~≦~}180°\) より、\(\cos\alpha=-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる角は、
\(\alpha=120°\)
\(0°{\small ~≦~}\beta{\small ~≦~}180°\) より、\(\cos\beta=\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,2\,}\) となる角は、
\(\beta=45°\)
\(0°{\small ~≦~}\gamma{\small ~≦~}180°\) より、\(\cos\gamma=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\) となる角は、
\(\gamma=60°\)
したがって、
\(\alpha=120°~,~\beta=45°~,~\gamma=60°\)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03\( \overrightarrow{a}=(3~,~0~,~\sqrt{3}) \) と \(x\) 軸、\(y\) 軸、\(z\) 軸の正の向きとのなす角をそれぞれ求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.68 練習問題A 5
\( \overrightarrow{a}=\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]0\\[2pt]\sqrt{3}\end{array}\,\right) \) の大きさは、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{a}\,|&=&\sqrt{3^2+0^2+(\sqrt{3})^2}
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{9+0+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}
\end{eqnarray}\)
\(x\) 軸に関する基本ベクトルを \( \overrightarrow{e_1}=\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]0\\[2pt]0\end{array}\,\right)~,~|\,\overrightarrow{e_1}\,|=1 \) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_1}&=&3\cdot1+0\cdot0+\sqrt{3}\cdot0
\\[3pt]~~~&=&3
\end{eqnarray}\)
\(x\) 軸の正の向きとのなす角を \( \alpha \) とすると、内積の定義の式は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_1}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\cdot|\,\overrightarrow{e_1}\,|\cos\alpha
\\[5pt]~3&=&2\sqrt{3}\cdot1\cdot\cos\alpha
\\[5pt]~\cos\alpha&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~\cos\alpha&=&\displaystyle \frac{\,3\sqrt{3}\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~\cos\alpha&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(0°{\small ~≦~}\alpha{\small ~≦~}180°\) より、\(\alpha=30°\)
\(y\) 軸に関する基本ベクトルを \( \overrightarrow{e_2}=\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{array}\,\right)~,~|\,\overrightarrow{e_2}\,|=1 \) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_2}&=&3\cdot0+0\cdot1+\sqrt{3}\cdot0
\\[3pt]~~~&=&0
\end{eqnarray}\)
\(y\) 軸の正の向きとのなす角を \( \beta \) とすると、内積の定義の式は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_2}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\cdot|\,\overrightarrow{e_2}\,|\cos\beta
\\[5pt]~~~0&=&2\sqrt{3}\cdot1\cdot\cos\beta
\\[5pt]~~~\cos\beta&=&0\end{eqnarray}\)
\(0°{\small ~≦~}\beta{\small ~≦~}180°\) より、\(\beta=90°\)
\(z\) 軸に関する基本ベクトルを \( \overrightarrow{e_3}=\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{array}\,\right)~,~|\,\overrightarrow{e_3}\,|=1 \) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_3}&=&3\cdot0+0\cdot0+\sqrt{3}\cdot1
\\[3pt]~~~&=&\sqrt{3}
\end{eqnarray}\)
\(z\) 軸の正の向きとのなす角を \( \gamma \) とすると、内積の定義の式は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{e_3}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\cdot|\,\overrightarrow{e_3}\,|\cos\gamma
\\[5pt]~~~\sqrt{3}&=&2\sqrt{3}\cdot1\cdot\cos\gamma
\\[5pt]~~~\cos\gamma&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{3}\,}{\,2\sqrt{3}\,}
\\[5pt]~~~\cos\gamma&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\(0°{\small ~≦~}\gamma{\small ~≦~}180°\) より、\(\gamma=60°\)
したがって、
\(x\) 軸とのなす角は \(30°\)、\(y\) 軸とのなす角は \(90°\)、\(z\) 軸とのなす角は \(60°\)
