- 数学C｜空間ベクトル「空間の位置ベクトルと内分点・外分点・中点」の基本例題解説ページです。
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問題｜空間の位置ベクトルと内分点・外分点・中点
空間ベクトル 26空間の位置ベクトル \( {\rm A}(\overrightarrow{a})~,~\)\( {\rm B}(\overrightarrow{b}) \) について、線分 \(\rm AB \) の \( 2:3 \) の内分点、\( 2:3 \) の外分点、中点の位置ベクトルの求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
空間の位置ベクトルと内分点・外分点・中点
Point：空間の位置ベクトルと内分点・外分点・中点
■ \(m:n\) に内分する点 \( {\rm P}(\overrightarrow{p}) \)
\(\begin{eqnarray}\overrightarrow{p}&=&\displaystyle \frac{\,n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}\,}{\,m+n\,}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}\overrightarrow{q}&=&\displaystyle \frac{\,-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}\,}{\,m-n\,}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}\overrightarrow{m}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
空間の2点 \( {\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b}) \) を結ぶ線分 \({\rm AB} \) に対して、
■ \(m:n\) に内分する点 \( {\rm P}(\overrightarrow{p}) \)
\(\begin{eqnarray}\overrightarrow{p}&=&\displaystyle \frac{\,n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}\,}{\,m+n\,}
\end{eqnarray}\)
■ \(m:n\) に外分する点 \( {\rm Q}(\overrightarrow{q}) \)
\(\begin{eqnarray}\overrightarrow{q}&=&\displaystyle \frac{\,-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}\,}{\,m-n\,}
\end{eqnarray}\)
※ 内分点の式の比のどちらかにマイナスを付けて、\(m:-n\) と考える。
■ 中点 \( {\rm M}(\overrightarrow{m}) \)
\(\begin{eqnarray}\overrightarrow{m}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜空間の位置ベクトルと内分点・外分点・中点
空間ベクトル 26
空間の位置ベクトル \( {\rm A}(\overrightarrow{a})~,~\)\( {\rm B}(\overrightarrow{b}) \) について、線分 \(\rm AB \) の \( 2:3 \) の内分点、\( 2:3 \) の外分点、中点の位置ベクトルの求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
空間の2点 \( {\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b}) \) を結ぶ線分 \({\rm AB} \) を、
\(2:3\) に内分する点 \( {\rm P}(\overrightarrow{p}) \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{p}&=&\frac{\,3\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}\,}{\,2+3\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{a}+\frac{\,2\,}{\,5\,}\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)
\(2:3\) に外分する点 \( {\rm Q}(\overrightarrow{q}) \) は、
以下の図は実際にはありえない図となっているが、計算する上では、内分点と同じように考えて、比のどちらか一方にマイナスを付ける。
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{q}&=&\frac{\,3\overrightarrow{a}+(-2)\cdot\overrightarrow{b}\,}{\,(-2)+3\,}
\\[5pt]~~~&=&3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)
中点 \( {\rm M}(\overrightarrow{m}) \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{m}&=&\frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{a}+\frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{b}
\end{eqnarray}\)
