空間内の三角形の重心の位置ベクトル

\({\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})\) より、空間の \(\triangle {\rm ABC}\) の重心の位置ベクトル \({\rm G}(\overrightarrow{g})\) は、

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　\(\overrightarrow{g}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}\) となる

 
 

[証明]

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重心 \({\rm G}\) は3本の中線の交点であるから、

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辺 \(\rm BC\) の中点を \(\rm M\) とすると、

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\(~~~\overrightarrow{m}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,2\,}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)

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また、点 \(\rm G\) は中線 \({\rm AM}\) を \(2:1\) に内分するので、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{g}&=&\displaystyle \frac{\,1{\, \small \times \,}\overrightarrow{a}+2{\, \small \times \,}\overrightarrow{m}\,}{\,2+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{m}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)

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\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、

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\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{g}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+2{\, \small \times \,}\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,2\,}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)

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したがって、\(\overrightarrow{g}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}\) [終]