- 数学C｜空間ベクトル「空間の2点が一致することの証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜空間の2点が一致することの証明
空間ベクトル 28四面体 \(\rm ABCD \) の辺 \(\rm AB~,~ AD~,~ BC~,~ CD \) の中点をそれぞれ \(\rm P~,~ Q~,~ R~,~ S \) とするとき、線分 \(\rm PS \) の中点と線分 \(\rm QR \) の中点が一致することの証明方法は？
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
空間の2点が一致することの証明
Point：空間の2点が一致することの証明
① 立体の頂点を位置ベクトルで表す。
\( {\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})~,~{\rm D}(\overrightarrow{d}) \)
② 一致することを示したい点をそれぞれ①の位置ベクトルで表して、一致することを示す。
線分 \(\rm PS \) の中点
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{p}+\overrightarrow{s}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
線分 \(\rm QR \) の中点
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
空間の2点が一致することの証明方法は、
① 立体の頂点を位置ベクトルで表す。
\( {\rm A}(\overrightarrow{a})~,~{\rm B}(\overrightarrow{b})~,~{\rm C}(\overrightarrow{c})~,~{\rm D}(\overrightarrow{d}) \)
② 一致することを示したい点をそれぞれ①の位置ベクトルで表して、一致することを示す。
線分 \(\rm PS \) の中点
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{p}+\overrightarrow{s}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
線分 \(\rm QR \) の中点
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
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詳しい解説｜空間の2点が一致することの証明
空間ベクトル 28
四面体 \(\rm ABCD \) の辺 \(\rm AB~,~ AD~,~ BC~,~ CD \) の中点をそれぞれ \(\rm P~,~ Q~,~ R~,~ S \) とするとき、線分 \(\rm PS \) の中点と線分 \(\rm QR \) の中点が一致することの証明方法は？
高校数学C｜空間ベクトル
[証明] 点 \( {\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}~,~{\rm D} \) の位置ベクトルを、
\( \overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}~,~\overrightarrow{d} \)
点 \( {\rm P}~,~{\rm Q}~,~{\rm R}~,~{\rm S} \) の位置ベクトルを、
\( \overrightarrow{p}~,~\overrightarrow{q}~,~\overrightarrow{r}~,~\overrightarrow{s} \)
とおくと、
点 \( {\rm P} (\, \overrightarrow{p} \,) \) は \( {\rm AB} \) の中点より、
\( \overrightarrow{p}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,2\,} \)
点 \( {\rm Q} (\, \overrightarrow{q} \,) \) は \( {\rm AD} \) の中点より、
\( \overrightarrow{q}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{d}\,}{\,2\,} \)
点 \( {\rm R} (\, \overrightarrow{r} \,) \) は \( {\rm BC} \) の中点より、
\( \overrightarrow{r}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,2\,} \)
点 \( {\rm S} (\, \overrightarrow{s} \,) \) は \( {\rm CD} \) の中点より、
\( \overrightarrow{s}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}\,}{\,2\,} \)
ここで、線分 \( {\rm PS} \) の中点は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{p}+\overrightarrow{s}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}\,}{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
また、線分 \( {\rm QR} \) の中点は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{d}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,2\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}\,}{\,4\,}\end{eqnarray}\)
したがって、線分 \( {\rm PS} \) の中点と線分 \( {\rm QR} \) の中点は一致する [終]
