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問題アーカイブ01
問題アーカイブ01平行六面体 \( {\rm ABCD-EFGH} \) において、\( 4 \) つの対角線 \( {\rm AG}~,~{\rm BH}~,~{\rm CE}~,~{\rm DF} \) の中点は一致することを証明せよ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.66 練習17
[証明] 点 \( {\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}~,~{\rm D}~,~{\rm E}~,~{\rm F}~,~{\rm G}~,~{\rm H} \) の位置ベクトルを、
\( \overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c}~,~\overrightarrow{d}~,~\overrightarrow{e}~,~\overrightarrow{f}~,~\overrightarrow{g}~,~\overrightarrow{h} \)
とおくと、
平行六面体 \( {\rm ABCD-EFGH} \) より、
下面 \( {\rm ABCD} \) は平行四辺形なので、
\( \overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{\rm DC} \)
\( \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{d} \)
よって、
\( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}~\cdots~{\small [\,1\,]} \)
また、
\( \overrightarrow{\rm AE}=\overrightarrow{\rm BF}=\overrightarrow{\rm CG}=\overrightarrow{\rm DH} \)
なので、
\( \overrightarrow{e}-\overrightarrow{a}=\overrightarrow{f}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{g}-\overrightarrow{c}=\overrightarrow{h}-\overrightarrow{d}~\cdots~{\small [\,2\,]} \)
ここで、対角線 \( {\rm AG} \) の中点は、
\( {\small [\,2\,]} \) より \( \overrightarrow{g}=\overrightarrow{c}+\overrightarrow{e}-\overrightarrow{a} \) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{g}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{e}-\overrightarrow{a}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{c}+\overrightarrow{e}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
また、対角線 \( {\rm CE} \) の中点は、
\( \displaystyle \frac{\,\overrightarrow{c}+\overrightarrow{e}\,}{\,2\,} \)
また、対角線 \( {\rm BH} \) の中点は、
\( {\small [\,2\,]} \) より \( \overrightarrow{h}=\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}-\overrightarrow{a} \) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{h}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}-\overrightarrow{a}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
また、対角線 \( {\rm DF} \) の中点は、
\( {\small [\,2\,]} \) より \( \overrightarrow{f}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{e}-\overrightarrow{a} \) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{d}+\overrightarrow{f}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{e}-\overrightarrow{a}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}-\overrightarrow{a}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
\( {\small [\,1\,]} \) より \( \overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d} \) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{c}+\overrightarrow{e}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{e}-\overrightarrow{a}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}-\overrightarrow{a}\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
したがって、\( 4 \) つの対角線 \( {\rm AG}~,~{\rm BH}~,~{\rm CE}~,~{\rm DF} \) の中点は一致する [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02四面体 \( {\rm OABC} \) において、辺 \( {\rm OA}~,~ \) 辺 \( {\rm BC} \) の中点をそれぞれ \( {\rm P}~,~{\rm R} \) とし、辺 \( {\rm AB}~,~ \) 辺 \( {\rm OC} \) をそれぞれ \( 1:2 \) に内分する点を \( {\rm E}~,~{\rm F} \) とする。このとき、線分 \( {\rm PR} \) を \( 1:2 \) に内分する点と線分 \( {\rm EF} \) の中点は一致することを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.59 問21
[証明] \( {\rm O} \) を原点にとり、点 \( {\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C} \) の位置ベクトルを、
\( \overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c} \)
とおくと、
点 \( {\rm P} (\, \overrightarrow{p} \,) \) は \( {\rm OA} \) の中点より、
\( \overrightarrow{p}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}\,}{\,2\,} \)
点 \( {\rm R} (\, \overrightarrow{r} \,) \) は \( {\rm BC} \) の中点より、
\( \overrightarrow{r}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,2\,} \)
点 \( {\rm E} (\, \overrightarrow{e} \,) \) は \( {\rm AB} \) を \( 1:2 \) に内分する点より、
\( \overrightarrow{e}=\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,3\,} \)
点 \( {\rm F} (\, \overrightarrow{f} \,) \) は \( {\rm OC} \) を \( 1:2 \) に内分する点より、
\( \overrightarrow{f}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{c}\,}{\,3\,} \)
ここで、線分 \( {\rm PR} \) を \( 1:2 \) に内分する点は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{p}+\overrightarrow{r}\,}{\,3\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}\,}{\,2\,}+\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,2\,}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,2\,}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
また、線分 \( {\rm EF} \) の中点は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{e}+\overrightarrow{f}\,}{\,2\,}&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\,}{\,6\,}\end{eqnarray}\)
したがって、線分 \( {\rm PR} \) を \( 1:2 \) に内分する点と線分 \( {\rm EF} \) の中点は一致する [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03四面体 \( {\rm OABC} \) において、辺 \( {\rm OA}~,~ \) 辺 \( {\rm CB} \) をそれぞれ \( 1:2 \) に内分する点を \( {\rm P}~,~{\rm R} \) とし、辺 \( {\rm AB}~,~ \) 辺 \( {\rm OC} \) をそれぞれ \( 3:1 \) に内分する点を \( {\rm Q}~,~{\rm S} \) とする。このとき、線分 \( {\rm PR} \) を \( 3:1 \) に内分する点と線分 \( {\rm SQ} \) を \( 1:2 \) に内分する点は一致することを証明せよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.69 練習問題B 12
[証明] \( {\rm O} \) を原点にとり、点 \( {\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C} \) の位置ベクトルを、
\( \overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c} \)
とおくと、
点 \( {\rm P} (\, \overrightarrow{p} \,) \) は \( {\rm OA} \) を \( 1:2 \) に内分する点より、
\( \overrightarrow{p}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}\,}{\,3\,} \)
点 \( {\rm R} (\, \overrightarrow{r} \,) \) は \( {\rm CB} \) を \( 1:2 \) に内分する点より、
\( \overrightarrow{r}=\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\,}{\,3\,} \)
点 \( {\rm Q} (\, \overrightarrow{q} \,) \) は \( {\rm AB} \) を \( 3:1 \) に内分する点より、
\( \overrightarrow{q}=\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\,}{\,4\,} \)
点 \( {\rm S} (\, \overrightarrow{s} \,) \) は \( {\rm OC} \) を \( 3:1 \) に内分する点より、
\( \overrightarrow{s}=\displaystyle \frac{\,3\overrightarrow{c}\,}{\,4\,} \)
ここで、線分 \( {\rm PR} \) を \( 3:1 \) に内分する点は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{p}+3\overrightarrow{r}\,}{\,4\,}&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}\,}{\,3\,}+3\cdot\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\,}{\,3\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,6\overrightarrow{c}+3\overrightarrow{b}\,}{\,3\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+6\overrightarrow{c}\,}{\,3\,}\,}{\,4\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+6\overrightarrow{c}\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)
また、線分 \( {\rm SQ} \) を \( 1:2 \) に内分する点は、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{s}+\overrightarrow{q}\,}{\,3\,}&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot\displaystyle \frac{\,3\overrightarrow{c}\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\,}{\,4\,}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,6\overrightarrow{c}\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}\,}{\,4\,}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+6\overrightarrow{c}\,}{\,4\,}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+6\overrightarrow{c}\,}{\,12\,}\end{eqnarray}\)
したがって、線分 \( {\rm PR} \) を \( 3:1 \) に内分する点と線分 \( {\rm SQ} \) を \( 1:2 \) に内分する点は一致する [終]
