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空間の3点が一直線上にある証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01\( {\rm OA}~,~{\rm OB}~,~{\rm OC} \) を3つの辺とする平行六面体 \( {\rm OADB-CQPR} \) において、\( \triangle {\rm ABC} \) の重心を \( {\rm G} \) 、辺 \( {\rm OC} \) の中点を \( {\rm M} \) とするとき、3点 \( {\rm D}~,~{\rm G}~,~{\rm M} \) は一直線上にあることを証明せよ。また、\( {\rm DG}:{\rm GM} \) を求めよ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.67 練習18
[証明]
\( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c} \) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OD}&=&\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\( \triangle {\rm ABC} \) の重心が \( {\rm G} \) であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OG}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
さらに、\( {\rm M} \) は辺 \( {\rm OC} \) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OM}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OC}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\)\(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm DG}&=&\overrightarrow{\rm OG}-\overrightarrow{\rm OD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\)\(\small [\,3\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm DM}&=&\overrightarrow{\rm OM}-\overrightarrow{\rm OD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[5pt]~~~&=&-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,4\,]\)\(\small [\,5\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm DM}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm DG}\hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,4\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overrightarrow{\rm DM}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm DG} \) より、
3点 \( \rm D~,~\rm G~,~\rm M \) は一直線上にある [終]
また、\( {\rm DG}:{\rm DM}=1:\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}=2:3 \) より、
\( {\rm DG}:{\rm GM}=2:1 \)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02四面体 \( {\rm OABC} \) において、辺 \( {\rm OA} \) の中点を \( {\rm D} \)、辺 \( {\rm BC} \) の中点を \( {\rm E} \) とする。線分 \( {\rm DE} \) の中点を \( {\rm M} \)、\( \triangle {\rm ABC} \) の重心を \( {\rm G} \) とするとき、3点 \( {\rm O}~,~{\rm M}~,~{\rm G} \) は一直線上にあることを証明せよ。
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.62 練習14
[証明]
\( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c} \) とおくと、
\( {\rm D} \) は辺 \( {\rm OA} \) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OD}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{a}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( {\rm E} \) は辺 \( {\rm BC} \) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OE}&=&\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm BE}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm OB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm BC}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\( {\rm M} \) は線分 \( {\rm DE} \) の中点より、\(\small [\,1\,]\)\(\small [\,2\,]\) から、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OM}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm OD}+\overrightarrow{\rm OE}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\( \triangle {\rm ABC} \) の重心が \( {\rm G} \) であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OG}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,3\,]\)\(\small [\,4\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OG}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OM}\hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,3\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overrightarrow{\rm OG}=\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OM} \) より、
3点 \( \rm O~,~\rm M~,~\rm G \) は一直線上にある [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03図のような直方体において、\( \triangle {\rm ABC} \) の重心を \( {\rm G} \)、辺 \( {\rm OC} \) の中点を \( {\rm M} \) とするとき、点 \( {\rm G} \) は線分 \( {\rm DM} \) 上にあり、\( {\rm DM} \) を \( 2:1 \) に内分することを証明せよ。
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.72 問題 3
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.72 章末問題A 4
[証明]
\( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c} \) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OD}&=&\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\( \triangle {\rm ABC} \) の重心が \( {\rm G} \) であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OG}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
さらに、\( {\rm M} \) は辺 \( {\rm OC} \) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OM}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OC}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\)\(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm DG}&=&\overrightarrow{\rm OG}-\overrightarrow{\rm OD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-3\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\)\(\small [\,3\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm DM}&=&\overrightarrow{\rm OM}-\overrightarrow{\rm OD}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})
\\[5pt]~~~&=&-\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,4\,]\)\(\small [\,5\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm DG}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(-2\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm DM}\hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,5\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overrightarrow{\rm DG}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm DM} \) より、
点 \( {\rm G} \) は線分 \( {\rm DM} \) 上にあり、\( {\rm DM} \) を \( 2:1 \) に内分する [終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04右の図のような平行六面体において、\( \triangle {\rm ABC} \) の重心を \( {\rm G} \)、\( \triangle {\rm PQR} \) の重心を \( {\rm G’} \) とする。3点 \( {\rm O}~,~{\rm G}~,~{\rm G’} \) は一直線上にあることを証明せよ。
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.71 補充問題 2
[証明]
\( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c} \) とおくと、
平行六面体より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{\rm OQ}&=&\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{\rm OR}&=&\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)
\( \triangle {\rm ABC} \) の重心が \( {\rm G} \) であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OG}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\( \triangle {\rm PQR} \) の重心が \( {\rm G’} \) であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OG’}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm OP}+\overrightarrow{\rm OQ}+\overrightarrow{\rm OR}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})+(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})+(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\)\(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OG’}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&2\overrightarrow{\rm OG}\hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overrightarrow{\rm OG’}=2\overrightarrow{\rm OG} \) より、
3点 \( \rm O~,~\rm G~,~\rm G’ \) は一直線上にある [終]
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05四面体 \( {\rm OABC} \) において、\( \triangle {\rm OAB}~,~\triangle {\rm OBC}~,~\triangle {\rm OCA} \) の重心をそれぞれ \( {\rm D}~,~{\rm E}~,~{\rm F} \) とし、\( \triangle {\rm DEF} \) の重心を \( {\rm G} \) とする。さらに、\( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c} \) とおくとき、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\) \( \overrightarrow{\rm OG} \) を \( \overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c} \) で表せ。
\({\small (2)}~\) 直線 \( {\rm OG} \) は \( \triangle {\rm ABC} \) の重心 \( {\rm G’} \) を通ることを示せ。
\({\small (1)}~\) \( \overrightarrow{\rm OG} \) を \( \overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c} \) で表せ。
\({\small (2)}~\) 直線 \( {\rm OG} \) は \( \triangle {\rm ABC} \) の重心 \( {\rm G’} \) を通ることを示せ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.60 問22
\({\small (1)}~\)
\( {\rm D} \) は \( \triangle {\rm OAB} \) の重心より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OD}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm OO}+\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( {\rm E} \) は \( \triangle {\rm OBC} \) の重心より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OE}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm OO}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\( {\rm F} \) は \( \triangle {\rm OCA} \) の重心より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OF}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm OO}+\overrightarrow{\rm OC}+\overrightarrow{\rm OA}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a})~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)
\( {\rm G} \) は \( \triangle {\rm DEF} \) の重心より、\(\small [\,1\,]\)\(\small [\,2\,]\)\(\small [\,3\,]\) から、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OG}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm OD}+\overrightarrow{\rm OE}+\overrightarrow{\rm OF}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a})\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})+(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a})\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}(2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a})\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}\{(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})+(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a})\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}(2\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overrightarrow{\rm OG}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}) \)
\({\small (2)}~\)
\( \triangle {\rm ABC} \) の重心が \( {\rm G’} \) であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OG’}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,9\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small (1)\) と \(\small [\,4\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OG’}&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,9\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\cdot\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OG}
\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overrightarrow{\rm OG’}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OG} \) より、
直線 \( {\rm OG} \) は \( \triangle {\rm ABC} \) の重心 \( {\rm G’} \) を通る [終]
問題アーカイブ06
問題アーカイブ06直方体 \( {\rm ABCD-EFGH} \) において、\( \triangle {\rm DEF} \) の重心を \( {\rm Q} \)、線分 \( {\rm GE} \) の中点を \( {\rm R} \) とする。このとき、3点 \( {\rm A}~,~{\rm Q}~,~{\rm R} \) は一直線上にあることを示せ。
東京書籍｜Standard数学Ｃ[702] p.60 問15
[証明]
\( \overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AE}=\overrightarrow{c} \) とおくと、
直方体より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AF}&=&\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm BF}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~\overrightarrow{\rm AG}&=&\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm AE}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)
\( \triangle {\rm DEF} \) の重心が \( {\rm Q} \) であることより、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AQ}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm AE}+\overrightarrow{\rm AF}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\( {\rm R} \) は線分 \( {\rm GE} \) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AR}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm AG}+\overrightarrow{\rm AE}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\)\(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AR}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm AQ}\hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,1\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overrightarrow{\rm AR}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm AQ} \) より、
3点 \( \rm A~,~\rm Q~,~\rm R \) は一直線上にある [終]
問題アーカイブ07
問題アーカイブ07四面体 \( {\rm OABC} \) において、辺 \( {\rm OA}~,~{\rm BC}~,~{\rm OB}~,~{\rm AC} \) の中点を、それぞれ \( {\rm K}~,~{\rm L}~,~{\rm M}~,~{\rm N} \) とし、\( {\rm KL} \) の中点を \( {\rm P} \) とする。このとき、3点 \( {\rm M}~,~{\rm P}~,~{\rm N} \) は一直線上にあることを示せ。
東京書籍｜Standard数学Ｃ[702] p.67 Training 25
[証明]
\( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c} \) とおくと、
\( {\rm K} \) は辺 \( {\rm OA} \) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OK}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{a}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( {\rm L} \) は辺 \( {\rm BC} \) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OL}&=&\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm BL}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm BC}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\( {\rm M} \) は辺 \( {\rm OB} \) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OM}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{b}~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}
\end{eqnarray}\)
\( {\rm N} \) は辺 \( {\rm AC} \) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm ON}&=&\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AN}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm AC}
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}
\end{eqnarray}\)
\( {\rm P} \) は線分 \( {\rm KL} \) の中点より、\(\small [\,1\,]\)\(\small [\,2\,]\) から、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm OK}+\overrightarrow{\rm OL}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left\{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,3\,]\)\(\small [\,5\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm MP}&=&\overrightarrow{\rm OP}-\overrightarrow{\rm OM}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{b}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{a}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,6\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,3\,]\)\(\small [\,4\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm MN}&=&\overrightarrow{\rm ON}-\overrightarrow{\rm OM}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{b}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{a}-\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})~ ~ ~ \cdots {\small [\,7\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,6\,]\)\(\small [\,7\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm MN}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&2\overrightarrow{\rm MP}\hspace{30pt}(\,∵~ {\small [\,6\,]}\,)
\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overrightarrow{\rm MN}=2\overrightarrow{\rm MP} \) より、
3点 \( \rm M~,~\rm P~,~\rm N \) は一直線上にある [終]
