このページは、「空間の直線と平面の交点のベクトル」の練習問題アーカイブページとなります。
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空間の直線と平面の交点のベクトル で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01平行六面体 \(\rm OADB-CEGF \) において、辺 \(\rm DG \) の \(\rm G \) を越える延長上に \(\rm DG=GH \) となるように点 \(\rm H \) をとる。直線 \(\rm OH \) と平面 \(\rm AFC \) との交点を \(\rm M \) とするとき、\( \overrightarrow{\rm OM} \) を \( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\)\(\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\)\( \overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c} \) を用いて表せ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.69 練習20
\( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OH}&=&\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm DH}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm OB}+2\overrightarrow{\rm OC}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)
ここで、点 \( \rm M \) は直線 \( \rm OH \) 上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm OM}=k\cdot\overrightarrow{\rm OH} \) となる実数 \( k \) がある
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OM}&=&k\cdot\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\right)
\\[3pt]~~~&=&k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}+2k\overrightarrow{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
次に、点 \( \rm M \) は平面 \( \rm AFC \) 上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm AM}=s\overrightarrow{\rm AF}+t\overrightarrow{\rm AC} \) となる実数 \( s~,~t \) がある
始点を \( \rm O \) に揃えると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OM}-\overrightarrow{\rm OA}&=&s(\overrightarrow{\rm OF}-\overrightarrow{\rm OA})+t(\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OA})
\end{eqnarray}\)
ここで、\( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}\) と \(\overrightarrow{\rm OF}=\overrightarrow{\rm OB}+\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \) より、
\(\begin{eqnarray}~\overrightarrow{\rm OM}-\overrightarrow{a}&=&s(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})+t(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})
\\[3pt]~\overrightarrow{\rm OM}&=&\overrightarrow{a}-s\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+s\overrightarrow{c}-t\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{c}
\\[5pt]~\overrightarrow{\rm OM}
&=&\left(1-s-t\right)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+(s+t)\overrightarrow{c}~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~\overrightarrow{\rm OM}&=&\overrightarrow{a}-s\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+s\overrightarrow{c}-t\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{c}
\\[5pt]~\overrightarrow{\rm OM}
&=&\left(1-s-t\right)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+(s+t)\overrightarrow{c}~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、4点 \( \rm O~,~A~,~B~,~C \) は同一平面上にないので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
k=1-s-t ~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]} \\[5pt] k=s \hspace{33pt}~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}\\[5pt] 2k=s+t \hspace{12pt}~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) より \( s=k \) を \({\small [\,5\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~2k&=&k+t
\\[3pt]~~~t&=&k
\end{eqnarray}\)
\( s=k~,~t=k \) を \({\small [\,3\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~k&=&1-k-k
\\[3pt]~~~3k&=&1
\\[5pt]~~~k&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) より
\( \overrightarrow{\rm OM}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{c} \)
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02四面体 \(\rm OABC \) において、辺 \(\rm OA \) の中点を \(\rm M \) 、辺 \(\rm BC \) を \( 1:2 \) に内分する点を \(\rm Q \) 、線分 \(\rm MQ \) の中点を \(\rm R \) とし、直線 \(\rm OR \) と平面 \(\rm ABC \) の交点を \(\rm P \) とする。\( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c} \) とするとき、\( \overrightarrow{\rm OP} \) を \( \overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c} \) を用いて表せ。
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.64 練習16
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.65 練習14
\( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OM}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OA}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{a}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OQ}&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot\overrightarrow{\rm OB}+1\cdot\overrightarrow{\rm OC}\,}{\,1+2\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OR}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm OM}+\overrightarrow{\rm OQ}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{c}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)
ここで、点 \( \rm P \) は直線 \( \rm OR \) 上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm OP}=k\cdot\overrightarrow{\rm OR} \) となる実数 \( k \) がある
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&k\cdot\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\overrightarrow{c}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,k\,}{\,4\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,k\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,k\,}{\,6\,}\overrightarrow{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
次に、点 \( \rm P \) は平面 \( \rm ABC \) 上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm AP}=s\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC} \) となる実数 \( s~,~t \) がある
始点を \( \rm O \) に揃えると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}-\overrightarrow{\rm OA}&=&s(\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA})+t(\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OA})
\end{eqnarray}\)
ここで、\( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}\) より、
\(\begin{eqnarray}~\overrightarrow{\rm OP}-\overrightarrow{a}&=&s(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})+t(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})
\\[3pt]~\overrightarrow{\rm OP}&=&\overrightarrow{a}-s\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}
\\[3pt]~\overrightarrow{\rm OP}
&=&\left(1-s-t\right)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、4点 \( \rm O~,~A~,~B~,~C \) は同一平面上にないので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\,k\,}{\,4\,}=1-s-t ~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]} \\[5pt] \displaystyle \frac{\,k\,}{\,3\,}=s \hspace{33pt}~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}\\[5pt] \displaystyle \frac{\,k\,}{\,6\,}=t \hspace{33pt}~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) より \( s=\displaystyle \frac{\,k\,}{\,3\,} \) 、\({\small [\,5\,]}\) より \( t=\displaystyle \frac{\,k\,}{\,6\,} \) を \({\small [\,3\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,k\,}{\,4\,}&=&1-\displaystyle \frac{\,k\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,k\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,k\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,k\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,k\,}{\,6\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,3k+4k+2k\,}{\,12\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,9k\,}{\,12\,}&=&1
\\[5pt]~~~k&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) より
\( \overrightarrow{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\overrightarrow{c} \)
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03四面体 \(\rm OABC \) において、辺 \(\rm OA \) の中点を \(\rm M \) 、辺 \(\rm BC \) を \( 1:2 \) に内分する点を \(\rm Q \) 、線分 \(\rm MQ \) の中点を \(\rm R \) とし、直線 \(\rm OR \) と平面 \(\rm ABC \) の交点を \(\rm P \) とする。\( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c} \) とするとき、\( \overrightarrow{\rm OP} \) を \( \overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{c} \) を用いて表せ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.62 問24
\( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OM}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OA}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{a}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OQ}&=&\displaystyle \frac{\,2\cdot\overrightarrow{\rm OB}+1\cdot\overrightarrow{\rm OC}\,}{\,1+2\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OR}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm OM}+\overrightarrow{\rm OQ}\,}{\,2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{c}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\overrightarrow{c}
\end{eqnarray}\)
ここで、点 \( \rm P \) は直線 \( \rm OR \) 上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm OP}=k\cdot\overrightarrow{\rm OR} \) となる実数 \( k \) がある
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&k\cdot\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\overrightarrow{c}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,k\,}{\,4\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,k\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,k\,}{\,6\,}\overrightarrow{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
次に、点 \( \rm P \) は平面 \( \rm ABC \) 上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm AP}=s\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC} \) となる実数 \( s~,~t \) がある
始点を \( \rm O \) に揃えると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}-\overrightarrow{\rm OA}&=&s(\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA})+t(\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OA})
\end{eqnarray}\)
ここで、\( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c}\) より、
\(\begin{eqnarray}~\overrightarrow{\rm OP}-\overrightarrow{a}&=&s(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})+t(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{a})
\\[3pt]~\overrightarrow{\rm OP}&=&\overrightarrow{a}-s\overrightarrow{a}-t\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}
\\[3pt]~\overrightarrow{\rm OP}
&=&\left(1-s-t\right)\overrightarrow{a}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{c}~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、4点 \( \rm O~,~A~,~B~,~C \) は同一平面上にないので、
\(\begin{eqnarray}~~~ \left\{~\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\,k\,}{\,4\,}=1-s-t ~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]} \\[5pt] \displaystyle \frac{\,k\,}{\,3\,}=s \hspace{33pt}~ ~ ~ \cdots {\small [\,4\,]}\\[5pt] \displaystyle \frac{\,k\,}{\,6\,}=t \hspace{33pt}~ ~ ~ \cdots {\small [\,5\,]}
\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\({\small [\,4\,]}\) より \( s=\displaystyle \frac{\,k\,}{\,3\,} \) 、\({\small [\,5\,]}\) より \( t=\displaystyle \frac{\,k\,}{\,6\,} \) を \({\small [\,3\,]}\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,k\,}{\,4\,}&=&1-\displaystyle \frac{\,k\,}{\,3\,}-\displaystyle \frac{\,k\,}{\,6\,}
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,k\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,k\,}{\,3\,}+\displaystyle \frac{\,k\,}{\,6\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,3k+4k+2k\,}{\,12\,}&=&1
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,9k\,}{\,12\,}&=&1
\\[5pt]~~~k&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、\({\small [\,1\,]}\) より
\( \overrightarrow{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\overrightarrow{c} \)
