- 数学C｜空間ベクトル「空間図形の垂直であることの証明」の基本例題解説ページです。
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問題｜空間図形の垂直であることの証明
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
空間図形の垂直であることの証明
空間における2つのベクトルの垂直の証明方法は、
① 基本となる3つのベクトルを設定する。
\( \overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{x}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{y}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{z} \)
② 条件を①の基本ベクトルを用いて条件式とする。
\( \rm AB\perp CD \)より、\( \overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{x} \)
\( \rm AC\perp BD \)より、\( \overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z} \)
③ 垂直を示したい2つの線分をベクトルとして内積を計算し、\(0\) となることを示す。
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詳しい解説｜空間図形の垂直であることの証明
四面体 \(\rm ABCD \) において、\(\rm AB \perp CD~,~\)\(\rm AC \perp BD \) ならば \(\rm AD \perp BC \) であることの証明方法は？
高校数学C｜空間ベクトル
[証明] \( \overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{x}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{y}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{z} \) とおくと、
\( \rm AB \perp CD \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm CD}&=&0
\\[5pt]~~~\overrightarrow{\rm AB}\cdot(\overrightarrow{\rm AD}-\overrightarrow{\rm AC})&=&0
\\[5pt]~~~\overrightarrow{x}\cdot(\overrightarrow{z}-\overrightarrow{y})&=&0
\\[5pt]~~~\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{z}-\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}&=&0
\\[5pt]~~~\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}&=&\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{x}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\( \rm AC \perp BD \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{\rm BD}&=&0
\\[5pt]~~~\overrightarrow{\rm AC}\cdot(\overrightarrow{\rm AD}-\overrightarrow{\rm AB})&=&0
\\[5pt]~~~\overrightarrow{y}\cdot(\overrightarrow{z}-\overrightarrow{x})&=&0
\\[5pt]~~~\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z}-\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}&=&0
\\[5pt]~~~\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}&=&\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z}~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}
\end{eqnarray}\)
ここで、\( \overrightarrow{\rm AD} \) と \( \overrightarrow{\rm BC} \) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AD}\cdot\overrightarrow{\rm BC}&=&\overrightarrow{\rm AD}\cdot(\overrightarrow{\rm AC}-\overrightarrow{\rm AB})
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{z}\cdot(\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x})
\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z}-\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{x}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\) と \(\small [\,2\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}\hspace{35pt}~~~~&=&\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}
\\[5pt]~~~&=&0
\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overrightarrow{\rm AD}\neq 0~,~\overrightarrow{\rm BC}\neq 0~,~\overrightarrow{\rm AD}\cdot\overrightarrow{\rm BC}=0 \) より、\( \overrightarrow{\rm AD}\perp\overrightarrow{\rm BC} \) [終]
