このページは、「空間図形の垂直であることの証明」の練習問題アーカイブページとなります。
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空間図形の垂直であることの証明 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ01正四面体 \({\rm ABCD}\) において、\(\triangle{\rm BCD}\) の重心を \({\rm G}\) とすると、\({\rm AG}\perp{\rm BC}\) である。このことを、ベクトルを用いて証明せよ。
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.66 練習17
数研出版｜新編数学Ｃ[710] p.65 練習15
東京書籍｜Standard数学Ｃ[702] p.63 問18
[証明] \( \overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{x}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{y}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{z} \) とおくと、
正四面体の1辺の長さを \(a\) とすると、
\(|\overrightarrow{x}|=|\overrightarrow{y}|=|\overrightarrow{z}|=a\)
\(|{\rm BC}|=a\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~|\overrightarrow{\rm BC}|^2&=&a^2\\[5pt]~~~|\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x}|^2&=&a^2\\[5pt]~~~|\overrightarrow{x}|^2-2\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}+|\overrightarrow{y}|^2&=&a^2\\[5pt]~~~a^2-2\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}+a^2&=&a^2\\[5pt]~~~\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}&=&\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,2\,}\end{eqnarray}\)
同様に、\(|{\rm CD}|=|{\rm BD}|=a\) より、
\(\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z}=\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{x}=\displaystyle \frac{\,a^2\,}{\,2\,}\)
よって、
\(\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}=\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z}=\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{x}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\(\triangle{\rm BCD}\) の重心 \({\rm G}\) の位置ベクトルは、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AG}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{\rm AB}+\overrightarrow{\rm AC}+\overrightarrow{\rm AD})\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})\end{eqnarray}\)
ここで、\( \overrightarrow{\rm AG} \) と \( \overrightarrow{\rm BC} \) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AG}\cdot\overrightarrow{\rm BC}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})\cdot(\overrightarrow{\rm AC}-\overrightarrow{\rm AB})\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z})\cdot(\overrightarrow{y}-\overrightarrow{x})\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}-|\overrightarrow{x}|^2+|\overrightarrow{y}|^2-\overrightarrow{x}\cdot\overrightarrow{y}+\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z}-\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{x})\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(-|\overrightarrow{x}|^2+|\overrightarrow{y}|^2+\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z}-\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{x})\end{eqnarray}\)
正四面体より \(|\overrightarrow{x}|=|\overrightarrow{y}|\) かつ \({\small [\,1\,]}\) より \(\overrightarrow{y}\cdot\overrightarrow{z}=\overrightarrow{z}\cdot\overrightarrow{x}\) なので、
\(\begin{eqnarray}\hspace{35pt}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}(0+0)\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overrightarrow{\rm AG}\neq 0~,~\overrightarrow{\rm BC}\neq 0~,~\overrightarrow{\rm AG}\cdot\overrightarrow{\rm BC}=0 \) より、\( \overrightarrow{\rm AG}\perp\overrightarrow{\rm BC} \) [終]
問題アーカイブ02
問題アーカイブ02四面体 \({\rm ABCD}\) において、次のことが成り立つ。
\({\rm AC}\perp{\rm BD}\) ならば \({\rm AD}^2+{\rm BC}^2={\rm AB}^2+{\rm CD}^2\)
このことを、ベクトルを用いて証明せよ。
\({\rm AC}\perp{\rm BD}\) ならば \({\rm AD}^2+{\rm BC}^2={\rm AB}^2+{\rm CD}^2\)
このことを、ベクトルを用いて証明せよ。
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.74 章末問題B 11
[証明] \( \overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d} \) とおくと、
\({\rm AC}\perp{\rm BD}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{\rm BD}&=&0\\[5pt]~~~\overrightarrow{\rm AC}\cdot(\overrightarrow{\rm AD}-\overrightarrow{\rm AB})&=&0\\[5pt]~~~\overrightarrow{c}\cdot(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b})&=&0\\[5pt]~~~\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}&=&0\\[5pt]~~~\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}&=&\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AD}^2+{\rm BC}^2&=&|\overrightarrow{\rm AD}|^2+|\overrightarrow{\rm BC}|^2\\[5pt]~~~&=&|\overrightarrow{d}|^2+|\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}|^2\\[5pt]~~~&=&|\overrightarrow{d}|^2+|\overrightarrow{b}|^2-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+|\overrightarrow{c}|^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~{\rm AB}^2+{\rm CD}^2&=&|\overrightarrow{\rm AB}|^2+|\overrightarrow{\rm CD}|^2\\[5pt]~~~&=&|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}|^2\\[5pt]~~~&=&|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2-2\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}+|\overrightarrow{d}|^2\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}\hspace{20pt}&=&|\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{c}|^2-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+|\overrightarrow{d}|^2\\[5pt]~~~&=&|\overrightarrow{d}|^2+|\overrightarrow{b}|^2-2\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+|\overrightarrow{c}|^2~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,2\,]}\) と \({\small [\,3\,]}\) より、
\({\rm AD}^2+{\rm BC}^2={\rm AB}^2+{\rm CD}^2\) [終]
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03一直線上にない3点 \({\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C}\) が定める平面を \(\alpha\) とする。このとき、ベクトル \(\overrightarrow{n}\) が \(\overrightarrow{\rm AB}\perp\overrightarrow{n}~,~\overrightarrow{\rm AC}\perp\overrightarrow{n}\) を満たすならば、平面 \(\alpha\) 上の点 \({\rm A}\) 以外の任意の点 \({\rm P}\) について \(\overrightarrow{\rm AP}\perp\overrightarrow{n}\) となることを、空間のベクトルの内積を利用して示せ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.65 問題 18
[証明] 点 \({\rm P}\) は平面 \(\alpha\) 上の点より、実数 \(s~,~t\) を用いて、
\(\overrightarrow{\rm AP}=s\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC}\)
と表せる。
条件より、
\(\overrightarrow{\rm AB}\perp\overrightarrow{n}\) なので \(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{n}=0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\(\overrightarrow{\rm AC}\perp\overrightarrow{n}\) なので \(\overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{n}=0~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
ここで、\( \overrightarrow{\rm AP} \) と \( \overrightarrow{n} \) の内積は、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{n}&=&(s\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC})\cdot\overrightarrow{n}\\[5pt]~~~&=&s\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{n}+t\overrightarrow{\rm AC}\cdot\overrightarrow{n}\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}\hspace{35pt}&=&s\cdot 0+t\cdot 0\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overrightarrow{\rm AP}\neq 0~,~\overrightarrow{n}\neq 0~,~\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{n}=0 \) より、\( \overrightarrow{\rm AP}\perp\overrightarrow{n} \) [終]
問題アーカイブ04
問題アーカイブ04立方体 \({\rm ABCD\text{-}EFGH}\) において、辺 \({\rm EH}\) の中点を \({\rm M}\) とする。このとき、線分 \({\rm BM}\) 上にある点 \({\rm P}\) において、線分 \({\rm BM}\) と線分 \({\rm AP}\) が直交するという。\(\overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d}~,~\overrightarrow{\rm AE}=\overrightarrow{e}\) として、\(\overrightarrow{\rm AP}\) を \(\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{d}~,~\overrightarrow{e}\) で表せ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.68 練習問題A 7
[解答] 立方体の1辺の長さを \(a\) とすると、
\(|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{d}|=|\overrightarrow{e}|=a~,~\)
\(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}=\overrightarrow{d}\cdot\overrightarrow{e}=\overrightarrow{e}\cdot\overrightarrow{b}=0\)
\({\rm M}\) は辺 \({\rm EH}\) の中点より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AM}&=&\overrightarrow{\rm AE}+\overrightarrow{\rm EM}\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{e}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm EH}\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{e}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{d}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BM}&=&\overrightarrow{\rm AM}-\overrightarrow{\rm AB}\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{e}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}\\[5pt]~~~&=&-\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}\end{eqnarray}\)
点 \({\rm P}\) は線分 \({\rm BM}\) 上の点より、実数 \(t\) を用いて、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm BM}\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{b}+t\left(-\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}\right)\\[5pt]~~~&=&(1-t)\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,t\,}{\,2\,}\overrightarrow{d}+t\overrightarrow{e}\end{eqnarray}\)
\({\rm AP}\perp{\rm BM}\) より、\(\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm BM}=0\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}\cdot\overrightarrow{\rm BM}&=&\left\{(1-t)\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,t\,}{\,2\,}\overrightarrow{d}+t\overrightarrow{e}\right\}\cdot\left(-\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{d}+\overrightarrow{e}\right)\\[5pt]~~~&=&-(1-t)|\overrightarrow{b}|^2+\displaystyle \frac{\,t\,}{\,4\,}|\overrightarrow{d}|^2+t|\overrightarrow{e}|^2\\[5pt]~~~&=&-(1-t)a^2+\displaystyle \frac{\,t\,}{\,4\,}a^2+ta^2\\[5pt]~~~&=&a^2\left(-1+t+\displaystyle \frac{\,t\,}{\,4\,}+t\right)\\[5pt]~~~&=&a^2\left(-1+\displaystyle \frac{\,9t\,}{\,4\,}\right)\\[5pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
\(a\neq 0\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~-1+\displaystyle \frac{\,9t\,}{\,4\,}&=&0\\[5pt]~~~t&=&\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
したがって、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\left(1-\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\right)\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\cdot\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\overrightarrow{d}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\overrightarrow{e}\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,5\,}{\,9\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,9\,}\overrightarrow{d}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}\overrightarrow{e}\end{eqnarray}\)
問題アーカイブ05
問題アーカイブ05四面体 \({\rm ABCD}\) において、次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\) \(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm CD}+\overrightarrow{\rm BC}\cdot\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm CA}\cdot\overrightarrow{\rm BD}\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(\overrightarrow{\rm AB}\perp\overrightarrow{\rm CD}~,~\overrightarrow{\rm BC}\perp\overrightarrow{\rm AD}\) のとき、\(\overrightarrow{\rm CA}\perp\overrightarrow{\rm BD}\) であることを示せ。
\({\small (1)}~\) \(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm CD}+\overrightarrow{\rm BC}\cdot\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm CA}\cdot\overrightarrow{\rm BD}\) の値を求めよ。
\({\small (2)}~\) \(\overrightarrow{\rm AB}\perp\overrightarrow{\rm CD}~,~\overrightarrow{\rm BC}\perp\overrightarrow{\rm AD}\) のとき、\(\overrightarrow{\rm CA}\perp\overrightarrow{\rm BD}\) であることを示せ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.69 練習問題B 11
\({\small (1)}~\) \( \overrightarrow{\rm AB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm AC}=\overrightarrow{c}~,~\overrightarrow{\rm AD}=\overrightarrow{d} \) とおくと、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm CD}&=&\overrightarrow{\rm AB}\cdot(\overrightarrow{\rm AD}-\overrightarrow{\rm AC})\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{b}\cdot(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c})\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm BC}\cdot\overrightarrow{\rm AD}&=&(\overrightarrow{\rm AC}-\overrightarrow{\rm AB})\cdot\overrightarrow{\rm AD}\\[5pt]~~~&=&(\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{d}\\[5pt]~~~&=&\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm CA}\cdot\overrightarrow{\rm BD}&=&(-\overrightarrow{\rm AC})\cdot(\overrightarrow{\rm AD}-\overrightarrow{\rm AB})\\[5pt]~~~&=&(-\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b})\\[5pt]~~~&=&-\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}\end{eqnarray}\)
よって、
\(\begin{eqnarray}&&\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm CD}+\overrightarrow{\rm BC}\cdot\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm CA}\cdot\overrightarrow{\rm BD}\\[5pt]&=&(\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})+(\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{d})+(-\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c})\\[5pt]&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm CD}+\overrightarrow{\rm BC}\cdot\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm CA}\cdot\overrightarrow{\rm BD}=0\)
\({\small (2)}~\) \({\small (1)}\) より、
\(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm CD}+\overrightarrow{\rm BC}\cdot\overrightarrow{\rm AD}+\overrightarrow{\rm CA}\cdot\overrightarrow{\rm BD}=0~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\(\overrightarrow{\rm AB}\perp\overrightarrow{\rm CD}\) より、\(\overrightarrow{\rm AB}\cdot\overrightarrow{\rm CD}=0~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
\(\overrightarrow{\rm BC}\perp\overrightarrow{\rm AD}\) より、\(\overrightarrow{\rm BC}\cdot\overrightarrow{\rm AD}=0~ ~ ~ \cdots {\small [\,3\,]}\)
\({\small [\,1\,]}\)、\({\small [\,2\,]}\)、\({\small [\,3\,]}\) より、
\(\overrightarrow{\rm CA}\cdot\overrightarrow{\rm BD}=0\)
したがって、\( \overrightarrow{\rm CA}\neq 0~,~\overrightarrow{\rm BD}\neq 0~,~\overrightarrow{\rm CA}\cdot\overrightarrow{\rm BD}=0 \) より、\( \overrightarrow{\rm CA}\perp\overrightarrow{\rm BD} \) [終]
