- 数学C｜空間ベクトル「空間の原点から直線に下ろした交点の座標」の基本例題解説ページです。
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問題｜空間の原点から直線に下ろした交点の座標
空間ベクトル 33空間の2点 \( {\rm A}(1~,~ 0~,~ 4)~,~\)\( {\rm B}(5~,~ 4~,~ 0) \) を通る直線に原点 \(\rm O \) から垂線 \(\rm OH \) を下ろしたとき、点 \(\rm H \) の座標の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
空間の原点から直線に下ろした交点の座標
Point：空間の原点から直線に下ろした交点の座標
① 点 \(\rm H\) は直線 \( {\rm AB} \) 上にある条件より、\( \overrightarrow{\rm OH} \) の成分を \(k\) を用いて表す。
点 \(\rm H\) は直線 \( {\rm AB} \) 上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm AH}=k\overrightarrow{\rm AB} \) となる実数 \(k\) がある
また、\( \overrightarrow{\rm OH}=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AH}=\overrightarrow{\rm OA}+k\overrightarrow{\rm AB} \) より、
\(\begin{eqnarray}\overrightarrow{\rm OH}&=&\left(\,\begin{array}{c}1+4k\\[2pt]4k\\[2pt]4-4k\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
② 垂直の条件より、内積が \(0\) となることを用いて実数 \(k\) の値を求めて点 \(\rm H\) の座標を求める。
2点を通る直線に、原点から下ろした垂線との交点 \(\rm H\) の座標の求め方は、
① 点 \(\rm H\) は直線 \( {\rm AB} \) 上にある条件より、\( \overrightarrow{\rm OH} \) の成分を \(k\) を用いて表す。
点 \(\rm H\) は直線 \( {\rm AB} \) 上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm AH}=k\overrightarrow{\rm AB} \) となる実数 \(k\) がある
また、\( \overrightarrow{\rm OH}=\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AH}=\overrightarrow{\rm OA}+k\overrightarrow{\rm AB} \) より、
\(\begin{eqnarray}\overrightarrow{\rm OH}&=&\left(\,\begin{array}{c}1+4k\\[2pt]4k\\[2pt]4-4k\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
② 垂直の条件より、内積が \(0\) となることを用いて実数 \(k\) の値を求めて点 \(\rm H\) の座標を求める。
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詳しい解説｜空間の原点から直線に下ろした交点の座標
空間ベクトル 33
空間の2点 \( {\rm A}(1~,~ 0~,~ 4)~,~\)\( {\rm B}(5~,~ 4~,~ 0) \) を通る直線に原点 \(\rm O \) から垂線 \(\rm OH \) を下ろしたとき、点 \(\rm H \) の座標の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
点 \( \rm H \) は直線 \( {\rm AB} \) 上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm AH}=k\overrightarrow{\rm AB} \) となる実数 \( k \) がある
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OH}&=&\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AH}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm OA}+k\overrightarrow{\rm AB}\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}&=&\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}5\\[2pt]4\\[2pt]0\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]0\\[2pt]4\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}5-1\\[2pt]4-0\\[2pt]0-4\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]4\\[2pt]-4\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
この式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OH}&=&\left(\,\begin{array}{c}1\\[2pt]0\\[2pt]4\end{array}\,\right)+k\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]4\\[2pt]-4\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}1+4k\\[2pt]4k\\[2pt]4-4k\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
また、\( \overrightarrow{\rm OH}\perp\overrightarrow{\rm AB} \)より、\( \overrightarrow{\rm OH}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(1+4k)\cdot4+4k\cdot4+(4-4k)\cdot(-4)&=&0
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(1+4k)\cdot4\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,4k\cdot4\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,(4-4k)\cdot(-4)\,}{\,4\,}&=&0
\\[5pt]~~~(1+4k)+4k+(4-4k)\cdot(-1)&=&0
\\[3pt]~~~1+4k+4k-4+4k&=&0
\\[3pt]~~~12k-3&=&0
\\[3pt]~~~12k&=&3
\\[5pt]~~~k&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~\displaystyle \frac{\,(1+4k)\cdot4\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,4k\cdot4\,}{\,4\,}+\displaystyle \frac{\,(4-4k)\cdot(-4)\,}{\,4\,}&=&0
\\[5pt]~~~(1+4k)+4k+(4-4k)\cdot(-1)&=&0
\\[3pt]~~~1+4k+4k-4+4k&=&0
\\[3pt]~~~12k-3&=&0
\\[3pt]~~~12k&=&3
\\[5pt]~~~k&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\( \overrightarrow{\rm OH}=\left(\,\begin{array}{c}1+4k\\[2pt]4k\\[2pt]4-4k\end{array}\,\right) \) より、
\(x\) 成分は、\( 1+4\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}=1+1=2 \)
\(y\) 成分は、\( 4\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}=1 \)
\(z\) 成分は、\( 4-4\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,4\,}=4-1=3 \)
したがって、点 \( \rm H \) は、\( {\rm H}(2~,~1~,~3) \) となる
