このページは、「空間の原点から直線に下ろした交点の座標」の練習問題アーカイブページとなります。
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空間の原点から直線に下ろした交点の座標 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ012点 \( {\rm A}(0~,~ 2~,~ 5)~,~\)\( {\rm B}(3~,~ 5~,~ 2) \) を通る直線に，原点 \(\rm O \) から垂線 \(\rm OH \) を下ろす。点 \(\rm H \) の座標を求めよ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.72 練習22
点 \( \rm H \) は直線 \( {\rm AB} \) 上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm AH}=k\overrightarrow{\rm AB} \) となる実数 \( k \) がある
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OH}&=&\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AH}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm OA}+k\overrightarrow{\rm AB}\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}&=&\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]5\\[2pt]2\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]2\\[2pt]5\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}3-0\\[2pt]5-2\\[2pt]2-5\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]3\\[2pt]-3\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
この式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OH}&=&\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]2\\[2pt]5\end{array}\,\right)+k\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]3\\[2pt]-3\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}3k\\[2pt]2+3k\\[2pt]5-3k\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
また、\( \overrightarrow{\rm OH}\perp\overrightarrow{\rm AB} \)より、\( \overrightarrow{\rm OH}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~3k\cdot3+(2+3k)\cdot3+(5-3k)\cdot(-3)&=&0
\\[3pt]~~~9k+6+9k-15+9k&=&0
\\[3pt]~~~27k-9&=&0
\\[3pt]~~~27k&=&9
\\[5pt]~~~k&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~9k+6+9k-15+9k&=&0
\\[3pt]~~~27k-9&=&0
\\[3pt]~~~27k&=&9
\\[5pt]~~~k&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\( \overrightarrow{\rm OH}=\left(\,\begin{array}{c}3k\\[2pt]2+3k\\[2pt]5-3k\end{array}\,\right) \) より、
\(x\) 成分は、\( 3\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=1 \)
\(y\) 成分は、\( 2+3\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=2+1=3 \)
\(z\) 成分は、\( 5-3\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}=5-1=4 \)
したがって、点 \( \rm H \) は、\( {\rm H}(1~,~3~,~4) \) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ022点 \( {\rm A}(4~,~ 0~,~ 5)~,~\)\( {\rm B}(0~,~ 2~,~ 1) \) を通る直線上の点のうち，原点 \(\rm O\) との距離が最小となる点を \(\rm P\) とする。
\({\small (1)}~\)直線 \(\rm AB\) と直線 \(\rm OP\) の間に成り立つ関係を予想せよ。
\({\small (2)}~\)点 \(\rm P\) の座標を求めよ。また，\({\small (1)}\) で予想した関係が成り立つことを示せ。
\({\small (1)}~\)直線 \(\rm AB\) と直線 \(\rm OP\) の間に成り立つ関係を予想せよ。
\({\small (2)}~\)点 \(\rm P\) の座標を求めよ。また，\({\small (1)}\) で予想した関係が成り立つことを示せ。
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.72 問題 5
\({\small (1)}~\)原点 \(\rm O\) から直線 \(\rm AB\) までの距離が最小となる点 \(\rm P\) は、原点から直線 \(\rm AB\) へ下ろした垂線の足である
したがって、直線 \(\rm AB\) と直線 \(\rm OP\) は垂直に交わる
\({\small (2)}~\)点 \( \rm P \) は直線 \( {\rm AB} \) 上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm AP}=k\overrightarrow{\rm AB} \) となる実数 \( k \) がある
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AP}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm OA}+k\overrightarrow{\rm AB}\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}&=&\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}0\\[2pt]2\\[2pt]1\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]0\\[2pt]5\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}0-4\\[2pt]2-0\\[2pt]1-5\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}-4\\[2pt]2\\[2pt]-4\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
この式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]0\\[2pt]5\end{array}\,\right)+k\left(\,\begin{array}{c}-4\\[2pt]2\\[2pt]-4\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}4-4k\\[2pt]2k\\[2pt]5-4k\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
また、\( \overrightarrow{\rm OP}\perp\overrightarrow{\rm AB} \)より、\( \overrightarrow{\rm OP}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0 \) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~(4-4k)\cdot(-4)+2k\cdot2+(5-4k)\cdot(-4)&=&0
\\[3pt]~~~-16+16k+4k-20+16k&=&0
\\[3pt]~~~36k-36&=&0
\\[3pt]~~~36k&=&36
\\[3pt]~~~k&=&1
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~-16+16k+4k-20+16k&=&0
\\[3pt]~~~36k-36&=&0
\\[3pt]~~~36k&=&36
\\[3pt]~~~k&=&1
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\( \overrightarrow{\rm OP}=\left(\,\begin{array}{c}4-4k\\[2pt]2k\\[2pt]5-4k\end{array}\,\right) \) より、
\(x\) 成分は、\( 4-4\cdot1=0 \)
\(y\) 成分は、\( 2\cdot1=2 \)
\(z\) 成分は、\( 5-4\cdot1=1 \)
したがって、点 \( \rm P \) は、\( {\rm P}(0~,~2~,~1) \) となる
また、\({\small (1)}\) で予想した関係について、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}\cdot\overrightarrow{\rm AB}&=&0\cdot(-4)+2\cdot2+1\cdot(-4)
\\[3pt]~~~&=&0+4-4
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\( \overrightarrow{\rm OP}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0 \) より、直線 \(\rm AB\) と直線 \(\rm OP\) は垂直に交わる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ032点 \( {\rm A}(2~,~ 7~,~ 0)~,~\)\( {\rm B}(5~,~ 1~,~ 3) \) について，次の問に答えよ。
\({\small (1)}~\)直線 \(\rm AB\) 上の点で，原点から最も近い点 \(\rm P\) の座標を求めよ。
\({\small (2)}~\)\({\small (1)}\) で求めた点 \(\rm P\) に対して，\(\rm AB\perp OP\) であることを示せ。
\({\small (1)}~\)直線 \(\rm AB\) 上の点で，原点から最も近い点 \(\rm P\) の座標を求めよ。
\({\small (2)}~\)\({\small (1)}\) で求めた点 \(\rm P\) に対して，\(\rm AB\perp OP\) であることを示せ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.65 問題 20
\({\small (1)}~\)点 \( \rm P \) は直線 \( {\rm AB} \) 上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm AP}=k\overrightarrow{\rm AB} \) となる実数 \( k \) がある
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\overrightarrow{\rm OA}+\overrightarrow{\rm AP}
\\[3pt]~~~&=&\overrightarrow{\rm OA}+k\overrightarrow{\rm AB}\end{eqnarray}\)
ここで、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}&=&\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}5\\[2pt]1\\[2pt]3\end{array}\,\right)-\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]7\\[2pt]0\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}5-2\\[2pt]1-7\\[2pt]3-0\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]-6\\[2pt]3\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
この式より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\left(\,\begin{array}{c}2\\[2pt]7\\[2pt]0\end{array}\,\right)+k\left(\,\begin{array}{c}3\\[2pt]-6\\[2pt]3\end{array}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\,\begin{array}{c}2+3k\\[2pt]7-6k\\[2pt]3k\end{array}\,\right)\end{eqnarray}\)
また、原点から最も近い点では \( \overrightarrow{\rm OP}\perp\overrightarrow{\rm AB} \) となるので、\( \overrightarrow{\rm OP}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(2+3k)\cdot3+(7-6k)\cdot(-6)+3k\cdot3&=&0
\\[3pt]~~~6+9k-42+36k+9k&=&0
\\[3pt]~~~54k-36&=&0
\\[3pt]~~~54k&=&36
\\[5pt]~~~k&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~6+9k-42+36k+9k&=&0
\\[3pt]~~~54k-36&=&0
\\[3pt]~~~54k&=&36
\\[5pt]~~~k&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\( \overrightarrow{\rm OP}=\left(\,\begin{array}{c}2+3k\\[2pt]7-6k\\[2pt]3k\end{array}\,\right) \) より、
\(x\) 成分は、\( 2+3\cdot\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=2+2=4 \)
\(y\) 成分は、\( 7-6\cdot\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=7-4=3 \)
\(z\) 成分は、\( 3\cdot\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=2 \)
したがって、点 \( \rm P \) は、\( {\rm P}(4~,~3~,~2) \) となる
\({\small (2)}~\)\({\small (1)}\) より、\( \overrightarrow{\rm OP}=\left(\,\begin{array}{c}4\\[2pt]3\\[2pt]2\end{array}\,\right) \) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}\cdot\overrightarrow{\rm AB}&=&4\cdot3+3\cdot(-6)+2\cdot3
\\[3pt]~~~&=&12-18+6
\\[3pt]~~~&=&0\end{eqnarray}\)
よって、\( \overrightarrow{\rm OP}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0 \) より、\(\rm AB\perp OP\) である
