- 数学C｜空間ベクトル「2点と平面上の点が一直線上にある条件」の基本例題解説ページです。
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問題｜2点と平面上の点が一直線上にある条件
空間ベクトル 34☆空間の2点 \( {\rm A}(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( {\rm B}(4~,~ -1~,~ 2)~,~\) と \( xy \) 平面上の点 \(\rm P \) が一直線上にあるとき、点 \(\rm P \) の座標の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
2点と平面上の点が一直線上にある条件
Point：2点と平面上の点が一直線上にある条件
① 平面上の点の座標を文字で置く。
\( xy \) 平面上の点は、
\( z \) 座標が \( 0 \) なので、\( (x~,~y~,~0) \)
\( yz \) 平面上の点は、
\( x \) 座標が \( 0 \) なので、\( (0~,~y~,~z) \)
\( zx \) 平面上の点は、
\( y \) 座標が \( 0 \) なので、\( (x~,~0~,~z) \)
② 3点が一直線上にある条件より、座標を求める。
3点 \( {\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm P} \) が一直線上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm AP}=k\cdot\overrightarrow{\rm AB} \) となる実数 \( k \) がある
2点と平面上の点が一直線上にあるときの、平面上の点の座標の求め方は、
① 平面上の点の座標を文字で置く。
\( xy \) 平面上の点は、
\( z \) 座標が \( 0 \) なので、\( (x~,~y~,~0) \)
\( yz \) 平面上の点は、
\( x \) 座標が \( 0 \) なので、\( (0~,~y~,~z) \)
\( zx \) 平面上の点は、
\( y \) 座標が \( 0 \) なので、\( (x~,~0~,~z) \)
② 3点が一直線上にある条件より、座標を求める。
3点 \( {\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm P} \) が一直線上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm AP}=k\cdot\overrightarrow{\rm AB} \) となる実数 \( k \) がある
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詳しい解説｜2点と平面上の点が一直線上にある条件
空間ベクトル 34☆
空間の2点 \( {\rm A}(1~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( {\rm B}(4~,~ -1~,~ 2)~,~\) と \( xy \) 平面上の点 \(\rm P \) が一直線上にあるとき、点 \(\rm P \) の座標の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
\( xy \) 平面上の点 \( {\rm P} \) は \( z \) 座標が \( 0 \) なので、
\( {\rm P}(x~,~y~,~0) \) とおくと、
原点を \( {\rm O} \) とし、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}&=&\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\begin{pmatrix}4\\-1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}
\\[5pt]~~~&=&\begin{pmatrix}4-1\\-1-2\\2-3\end{pmatrix}
\\[5pt]~~~&=&\begin{pmatrix}3\\-3\\-1\end{pmatrix}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\overrightarrow{\rm OP}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}
\\[5pt]~~~&=&\begin{pmatrix}x-1\\y-2\\-3\end{pmatrix}\end{eqnarray}\)
3点 \( {\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm P} \) が一直線上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm AP}=k\cdot\overrightarrow{\rm AB} \) となる実数 \( k \) がある
それぞれの成分を代入すると、
\(~~~\begin{pmatrix}x-1\\y-2\\-3\end{pmatrix}=k\cdot\begin{pmatrix}3\\-3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3k\\-3k\\-k\end{pmatrix}\)
成分がそれぞれ等しいので、
\(~~~\left\{~\begin{array}{l}x-1=3k~ ~ ~\hspace{7pt} \cdots {\small [\,1\,]}\\[3pt]y-2=-3k~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\\[3pt]-3=-k~ ~ ~\hspace{15pt} \cdots {\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)
\(\small [\,3\,]\) より \( k=3 \) となるので、
\(\small [\,1\,]\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x-1&=&3\cdot 3
\\[3pt]~~~x&=&9+1
\\[3pt]~~~x&=&10\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y-2&=&-3\cdot 3
\\[3pt]~~~y&=&-9+2
\\[3pt]~~~y&=&-7\end{eqnarray}\)
したがって、\( {\rm P}(10~,~-7~,~0) \) となる
