このページは、「2点と平面上の点が一直線上にある条件」の練習問題アーカイブページとなります。
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2点と平面上の点が一直線上にある条件 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ012点 \( {\rm A}(-1~,~ -5~,~ 5)~,~\)\( {\rm B}(2~,~ 1~,~ 2)~,~ \) と \( xy \) 平面上の点 \(\rm P \) が一直線上にあるとき、点 \(\rm P \) の座標を求めよ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.81 演習問題B 5
\( xy \) 平面上の点 \( {\rm P} \) は \( z \) 座標が \( 0 \) なので、
\( {\rm P}(x~,~y~,~0) \) とおくと、
原点を \( {\rm O} \) とし、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}&=&\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\-5\\5\end{pmatrix}
\\[5pt]~~~&=&\begin{pmatrix}2-(-1)\\1-(-5)\\2-5\end{pmatrix}
\\[5pt]~~~&=&\begin{pmatrix}3\\6\\-3\end{pmatrix}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AP}&=&\overrightarrow{\rm OP}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1\\-5\\5\end{pmatrix}
\\[5pt]~~~&=&\begin{pmatrix}x+1\\y+5\\-5\end{pmatrix}\end{eqnarray}\)
3点 \( {\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm P} \) が一直線上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm AP}=k\cdot\overrightarrow{\rm AB} \) となる実数 \( k \) がある
それぞれの成分を代入すると、
\(~~~\begin{pmatrix}x+1\\y+5\\-5\end{pmatrix}=k\cdot\begin{pmatrix}3\\6\\-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3k\\6k\\-3k\end{pmatrix}\)
成分がそれぞれ等しいので、
\(~~~\left\{~\begin{array}{l}x+1=3k~ ~ ~\hspace{7pt} \cdots {\small [\,1\,]}\\[3pt]y+5=6k~ ~ ~\hspace{7pt} \cdots {\small [\,2\,]}\\[3pt]-5=-3k~ ~ ~\hspace{7pt} \cdots {\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)
\(\small [\,3\,]\) より \( k=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,} \) となるので、
\(\small [\,1\,]\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~x+1&=&3\cdot \displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~x+1&=&5
\\[3pt]~~~x&=&4\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~y+5&=&6\cdot \displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~y+5&=&10
\\[3pt]~~~y&=&5\end{eqnarray}\)
したがって、\( {\rm P}(4~,~5~,~0) \) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ023点 \( {\rm A}(a~,~ -1~,~ 5)~,~\)\( {\rm B}(4~,~ b~,~ -7)~,~\)\( {\rm C}(5~,~ 5~,~ -13) \) が一直線上にあるとき、\( a~,~b \) の値を求めよ。
数研出版｜高等学校数学Ｃ[709] p.74 章末問題B 8
原点を \( {\rm O} \) とし、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}&=&\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\begin{pmatrix}4\\b\\-7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a\\-1\\5\end{pmatrix}
\\[5pt]~~~&=&\begin{pmatrix}4-a\\b+1\\-12\end{pmatrix}\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AC}&=&\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\begin{pmatrix}5\\5\\-13\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a\\-1\\5\end{pmatrix}
\\[5pt]~~~&=&\begin{pmatrix}5-a\\6\\-18\end{pmatrix}\end{eqnarray}\)
3点 \( {\rm A}~,~{\rm B}~,~{\rm C} \) が一直線上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm AB}=k\cdot\overrightarrow{\rm AC} \) となる実数 \( k \) がある
それぞれの成分を代入すると、
\(~~~\begin{pmatrix}4-a\\b+1\\-12\end{pmatrix}=k\cdot\begin{pmatrix}5-a\\6\\-18\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(5-a)k\\6k\\-18k\end{pmatrix}\)
成分がそれぞれ等しいので、
\(~~~\left\{~\begin{array}{l}4-a=(5-a)k~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\\[3pt]b+1=6k~ ~ ~\hspace{25pt} \cdots {\small [\,2\,]}\\[3pt]-12=-18k~ ~ ~\hspace{10pt} \cdots {\small [\,3\,]}\end{array}\right.\)
\(\small [\,3\,]\) より \( k=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,} \) となるので、
\(\small [\,1\,]\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~4-a&=&(5-a)\cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~3(4-a)&=&2(5-a)
\\[3pt]~~~12-3a&=&10-2a
\\[3pt]~~~-3a+2a&=&10-12
\\[3pt]~~~-a&=&-2
\\[3pt]~~~a&=&2\end{eqnarray}\)
\(\small [\,2\,]\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~b+1&=&6\cdot \displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~b+1&=&4
\\[3pt]~~~b&=&3\end{eqnarray}\)
したがって、\( a=2~,~b=3 \) となる
