- 数学C｜空間ベクトル「直線と平面の交点のベクトル(係数の和が1)」の基本例題解説ページです。
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問題｜直線と平面の交点のベクトル(係数の和が1)
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
直線と平面の交点のベクトル(係数の和が1)
空間において、直線と平面の交点のベクトルでの表し方は、
① 基本となる3つのベクトルを設定する。
四面体 \(\rm OABC \) について、
\( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a} ~,~ \overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b} ~,~ \overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c} \) とおく
② 交点 \( \rm P \) が直線上にある条件式を立てる。
点 \( \rm P \) が直線 \( \rm OF \) 上にある
\(~\Leftrightarrow ~ \overrightarrow{\rm OP}=k\overrightarrow{\rm OF} \) となる実数 \( k \) がある
③ \(\overrightarrow{\rm OP}\) を基本ベクトルで表して、4点 \( \rm O~,~A~,~B~,~C \) が同一平面上にないことをいい、係数の和が \(1\) となることを利用する。
点 \( \rm P \) が平面 \( \rm ABC \) 上にあるとき、
\(~\Leftrightarrow ~ \overrightarrow{\rm OP}=l\,\overrightarrow{\rm OA}+m\,\overrightarrow{\rm OB}+n\,\overrightarrow{\rm OC}\)
\(l+m+n=1\) となる実数 \(l~,~m~,~n\) がある
④ これより、\(k\) の値を求めて、比を求める。
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詳しい解説｜直線と平面の交点のベクトル(係数の和が1)
四面体 \(\rm OABC \) の辺 \(\rm AB \) を \(3:2\) に内分する点を \(\rm D \)、辺 \(\rm OC \) の中点を \(\rm E \)、線分 \(\rm DE \) を \(2:1\) に内分する点を \(\rm F \)、直線 \(\rm OF \) と \( \triangle {\rm ABC} \) の交点を \(\rm P \) とするとき、係数の和が \(1\) となることを用いた \(\rm OF:FP \) の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
\( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a} ~,~ \overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b} ~,~ \overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c} \) とおくと、
\( \overrightarrow{\rm OD} \) は、\( \rm AD:DB=3:2 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OD}&=&\displaystyle \frac{\,2\overrightarrow{\rm OA}+3\overrightarrow{\rm OB}\,}{\,3+2\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{b}\end{eqnarray}\)
\( \overrightarrow{\rm OE} \) は \( \rm OE:EC=1:1 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OE}&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OC}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}\end{eqnarray}\)
\( \overrightarrow{\rm OF} \) は、\( \rm DF:FE=2:1 \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OF}&=&\displaystyle \frac{\,1\cdot\overrightarrow{\rm OD}+2\cdot\overrightarrow{\rm OE}\,}{\,2+1\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OD}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OE}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,5\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,5\,}\overrightarrow{b}\right)+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}\overrightarrow{c}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,15\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{c}\end{eqnarray}\)
ここで、点 \( \rm P \) は直線 \( \rm OF \) 上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm OP}=k\cdot\overrightarrow{\rm OF} \) となる実数 \( k \) がある
これより、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&k\,\left(\,\displaystyle \frac{\,2\,}{\,15\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{c}\,\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,15\,}k\,\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}k\,\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}k\,\overrightarrow{c}~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
\(\small [\,1\,]\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OP}&=&\displaystyle \frac{\,2\,}{\,15\,}k\,\overrightarrow{\rm OA}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}k\,\overrightarrow{\rm OB}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}k\,\overrightarrow{\rm OC}
\end{eqnarray}\)
4点 \( \rm O~,~A~,~B~,~C \) は同一平面上にないので、
\(\begin{eqnarray}~~~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,15\,}k+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,5\,}k+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}k&=&1
\\[5pt]~~~2k+3k+5k&=&15 \hspace{20pt}(\,∵~ {\, \small \times \,}15\,)
\\[5pt]~~~10k&=&15
\\[5pt]~~~k&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
したがって、\( \overrightarrow{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,3\,}{\,2\,}\overrightarrow{\rm OF} \) となるので、
図より、\( \rm OF:FP=2:1 \) となる
