このページは、「四面体と2点を結ぶ線分の長さ」の練習問題アーカイブページとなります。
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問題アーカイブ01
問題アーカイブ011辺の長さが \(3\) の正四面体 \({\rm OABC}\) において、辺 \({\rm OA}\) を \(1:2\) に内分する点を \({\rm P}\)、辺 \({\rm OB}\) を \(2:1\) に内分する点を \({\rm Q}\) とし、\(\triangle {\rm CPQ}\) の重心を \({\rm G}\) とする。線分 \({\rm OG}\) の長さを求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.68 練習問題A 6
\( \overrightarrow{\rm OA}=\overrightarrow{a}~,~\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{b}~,~\overrightarrow{\rm OC}=\overrightarrow{c} \) とおくと、
正四面体のそれぞれの面は正三角形であることより、
\( |\,\overrightarrow{a}\,|=|\,\overrightarrow{b}\,|=|\,\overrightarrow{c}\,|=3 ~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
また、正四面体より、\( \overrightarrow{a} \) と \( \overrightarrow{b} \) のなす角は \( 60^\circ \) であるので、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}&=&|\,\overrightarrow{a}\,|\cdot|\,\overrightarrow{b}\,|\cdot\cos 60^\circ
\\[5pt]~~~&=&3\cdot 3\cdot \displaystyle \frac{\,1\,}{\,2\,}=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}
\end{eqnarray}\)
また、\( \overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c} \) と \( \overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a} \) も同様に、
\( \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}=\displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,} ~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
次に、\( \overrightarrow{\rm OP} \) は \( {\rm OP}:{\rm PA}=1:2 \) より、
\( \overrightarrow{\rm OP}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OA}=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{a} \)
\( \overrightarrow{\rm OQ} \) は、\( {\rm OQ}:{\rm QB}=2:1 \) より、
\( \overrightarrow{\rm OQ}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{\rm OB}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{b} \)
よって、\( \triangle {\rm CPQ} \) の重心が \( {\rm G} \) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OG}&=&\displaystyle \frac{\,\overrightarrow{\rm OC}+\overrightarrow{\rm OP}+\overrightarrow{\rm OQ}\,}{\,3\,}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\left(\overrightarrow{c}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\overrightarrow{a}+\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\overrightarrow{b}+\displaystyle \frac{\,3\,}{\,3\,}\overrightarrow{c}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c})\end{eqnarray}\)
よって、\( |\,\overrightarrow{\rm OG}\,|^2 \) は、
\(\begin{eqnarray}~~~|\,\overrightarrow{\rm OG}\,|^2&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,81\,}\cdot|\,\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c}\,|^2
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,81\,}(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,81\,}\left\{\,|\,\overrightarrow{a}\,|^2+4|\,\overrightarrow{b}\,|^2+9|\,\overrightarrow{c}\,|^2+2\,\overrightarrow{a}\cdot (2\overrightarrow{b})+2\,(2\overrightarrow{b})\cdot (3\overrightarrow{c})+2\, (3\overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{a}\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,81\,}(|\,\overrightarrow{a}\,|^2+4|\,\overrightarrow{b}\,|^2+9|\,\overrightarrow{c}\,|^2+4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+12\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+6\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a})
\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,81\,}(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c})\cdot(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+3\overrightarrow{c})
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,81\,}\left\{\,|\,\overrightarrow{a}\,|^2+4|\,\overrightarrow{b}\,|^2+9|\,\overrightarrow{c}\,|^2+2\,\overrightarrow{a}\cdot (2\overrightarrow{b})+2\,(2\overrightarrow{b})\cdot (3\overrightarrow{c})+2\, (3\overrightarrow{c})\cdot \overrightarrow{a}\,\right\}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,81\,}(|\,\overrightarrow{a}\,|^2+4|\,\overrightarrow{b}\,|^2+9|\,\overrightarrow{c}\,|^2+4\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}+12\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}+6\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a})
\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) と \({\small [\,2\,]}\) より、
\(\begin{eqnarray}\hspace{28pt}~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,81\,}\left(3^2+4\cdot 3^2+9\cdot 3^2+4\cdot \displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}+12\cdot \displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}+6\cdot \displaystyle \frac{\,9\,}{\,2\,}\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,81\,}\left(9+36+81+18+54+27\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,225\,}{\,81\,}=\displaystyle \frac{\,25\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,81\,}\left(9+36+81+18+54+27\right)
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,225\,}{\,81\,}=\displaystyle \frac{\,25\,}{\,9\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、\( |\,\overrightarrow{\rm OG}\,|=\displaystyle \frac{\,5\,}{\,3\,} \) となる
