- 数学C｜空間ベクトル「外部の点から直線に下ろした交点の座標」の基本例題解説ページです。
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問題｜外部の点から直線に下ろした交点の座標
空間ベクトル 37☆空間の2点 \( {\rm A}(2~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( {\rm B}(6~,~ 6~,~ -1) \) を通る直線に
点 \( {\rm C}(1~,~ 2~,~ -1)\) から垂線 \(\rm CH \) を下ろしたとき、点 \(\rm H \) の座標の求め方は？
点 \( {\rm C}(1~,~ 2~,~ -1)\) から垂線 \(\rm CH \) を下ろしたとき、点 \(\rm H \) の座標の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
解法のPoint
外部の点から直線に下ろした交点の座標
Point：外部の点から直線に下ろした交点の座標
① 点 \(\rm H\) の座標を \({\rm H}(x~,~y~,~z)\) と置く。
② 点 \(\rm H\) は直線 \( {\rm AB} \) 上にある条件より、\( \overrightarrow{\rm OH} \) の成分を \(k\) を用いて表す。
点 \(\rm H\) は直線 \( {\rm AB} \) 上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm AH}=k\overrightarrow{\rm AB} \) となる実数 \(k\) がある
これより、点 \({\rm H}\) の座標を \(k\) の値で表す。
\(\begin{eqnarray}~~~~\left\{\,\begin{array}{l}x=4k+2\\y=4k+2\\z=-4k+3\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
③ 垂直の条件より、内積が \(0\) となることを用いて実数 \(k\) の値を求めて点 \(\rm H\) の座標を求める。
2点を通る直線に、外部の点から下ろした垂線の交点 \(\rm H\) の座標の求め方は、
① 点 \(\rm H\) の座標を \({\rm H}(x~,~y~,~z)\) と置く。
② 点 \(\rm H\) は直線 \( {\rm AB} \) 上にある条件より、\( \overrightarrow{\rm OH} \) の成分を \(k\) を用いて表す。
点 \(\rm H\) は直線 \( {\rm AB} \) 上にあるので、
\( \overrightarrow{\rm AH}=k\overrightarrow{\rm AB} \) となる実数 \(k\) がある
これより、点 \({\rm H}\) の座標を \(k\) の値で表す。
\(\begin{eqnarray}~~~~\left\{\,\begin{array}{l}x=4k+2\\y=4k+2\\z=-4k+3\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
③ 垂直の条件より、内積が \(0\) となることを用いて実数 \(k\) の値を求めて点 \(\rm H\) の座標を求める。
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詳しい解説｜外部の点から直線に下ろした交点の座標
空間ベクトル 37☆
空間の2点 \( {\rm A}(2~,~ 2~,~ 3)~,~\)\( {\rm B}(6~,~ 6~,~ -1) \) を通る直線に
点 \( {\rm C}(1~,~ 2~,~ -1)\) から垂線 \(\rm CH \) を下ろしたとき、点 \(\rm H \) の座標の求め方は？
高校数学C｜空間ベクトル
点 \(\rm H\) の座標を \({\rm H}(x~,~y~,~z)\) として、
原点を \(\rm O\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm CH}&=&\overrightarrow{\rm OH}-\overrightarrow{\rm OC}
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\2\\-1\end{array}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}x-1\\y-2\\z+1\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AH}&=&\overrightarrow{\rm OH}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\2\\3\end{array}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}x-2\\y-2\\z-3\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}&=&\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}6\\6\\-1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\2\\3\end{array}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}6-2\\6-2\\-1-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\4\\-4\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
ここで、点 \(\rm H\) は直線 \(\rm AB\) 上にあるので、
\(\overrightarrow{\rm AH}=k\overrightarrow{\rm AB}\) となる実数 \(k\) がある
成分を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\begin{array}{c}x-2\\y-2\\z-3\end{array}\right)&=&k\left(\begin{array}{c}4\\4\\-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4k\\4k\\-4k\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
それぞれの成分が等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\left\{\,\begin{array}{l}x-2=4k\\y-2=4k\\z-3=-4k\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~~\Leftrightarrow ~ \left\{\,\begin{array}{l}x=4k+2\\y=4k+2\\z=-4k+3\end{array}\right.~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(\overrightarrow{\rm CH}\perp\overrightarrow{\rm AB}\) より、\(\overrightarrow{\rm CH}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0\) となるので、
\(\overrightarrow{\rm CH}=\left(\begin{array}{c}x-1\\y-2\\z+1\end{array}\right)~,~\overrightarrow{\rm AB}=\left(\begin{array}{c}4\\4\\-4\end{array}\right)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-1)\cdot4+(y-2)\cdot4+(z+1)\cdot(-4)&=&0
\\[3pt]~~~(x-1)\cdot1+(y-2)\cdot1+(z+1)\cdot(-1)&=&0
\\[3pt]~~~x-1+y-2-z-1&=&0
\\[3pt]~~~x+y-z&=&4\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~(x-1)\cdot1+(y-2)\cdot1+(z+1)\cdot(-1)&=&0
\\[3pt]~~~x-1+y-2-z-1&=&0
\\[3pt]~~~x+y-z&=&4\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(4k+2)+(4k+2)-(-4k+3)&=&4
\\[3pt]~~~4k+2+4k+2+4k-3&=&4
\\[3pt]~~~12k+1&=&4
\\[3pt]~~~12k&=&3
\\[5pt]~~~k&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,12\,}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~4k+2+4k+2+4k-3&=&4
\\[3pt]~~~12k+1&=&4
\\[3pt]~~~12k&=&3
\\[5pt]~~~k&=&\displaystyle \frac{\,3\,}{\,12\,}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\({\small [\,1\,]}\) のそれぞれの成分に代入すると、
\(x=4\cdot\displaystyle \frac{\,3\,}{\,12\,}+2=1+2=3\)
\(y=4\cdot\displaystyle \frac{\,3\,}{\,12\,}+2=1+2=3\)
\(z=-4\cdot\displaystyle \frac{\,3\,}{\,12\,}+3=-1+3=2\)
したがって、点 \(\rm H\) は \({\rm H}(3~,~3~,~2)\) となる
