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外部の点から直線に下ろした交点の座標 で確認できます。
問題アーカイブ01
問題アーカイブ012点 \({\rm A}(2~,~ 1~,~ 2)~,~\)\({\rm B}(3~,~ 3~,~ 5) \) を通る直線に点 \( {\rm C}(5~,~ 6~,~ 7)\) から垂線 \(\rm CH \) を下ろす。点 \(\rm H \) の座標を求めよ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.80 問題 8
点 \(\rm H\) の座標を \({\rm H}(x~,~y~,~z)\) として、
原点を \(\rm O\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm CH}&=&\overrightarrow{\rm OH}-\overrightarrow{\rm OC}
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}5\\6\\7\end{array}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}x-5\\y-6\\z-7\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AH}&=&\overrightarrow{\rm OH}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\1\\2\end{array}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}x-2\\y-1\\z-2\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}&=&\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}3\\3\\5\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\1\\2\end{array}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}3-2\\3-1\\5-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
ここで、点 \(\rm H\) は直線 \(\rm AB\) 上にあるので、
\(\overrightarrow{\rm AH}=k\overrightarrow{\rm AB}\) となる実数 \(k\) がある
成分を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\begin{array}{c}x-2\\y-1\\z-2\end{array}\right)&=&k\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}k\\2k\\3k\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
それぞれの成分が等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\left\{\,\begin{array}{l}x-2=k\\y-1=2k\\z-2=3k\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}\Leftrightarrow ~ \left\{\,\begin{array}{l}x=k+2\\y=2k+1\\z=3k+2\end{array}\right.~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(\overrightarrow{\rm CH}\perp\overrightarrow{\rm AB}\) より、\(\overrightarrow{\rm CH}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0\) となるので、
\(\overrightarrow{\rm CH}=\left(\begin{array}{c}x-5\\y-6\\z-7\end{array}\right)~,~\overrightarrow{\rm AB}=\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-5)\cdot1+(y-6)\cdot2+(z-7)\cdot3&=&0
\\[3pt]~~~x-5+2y-12+3z-21&=&0
\\[3pt]~~~x+2y+3z&=&38\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~x-5+2y-12+3z-21&=&0
\\[3pt]~~~x+2y+3z&=&38\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~(k+2)+2(2k+1)+3(3k+2)&=&38
\\[3pt]~~~k+2+4k+2+9k+6&=&38
\\[3pt]~~~14k+10&=&38
\\[3pt]~~~14k&=&28
\\[3pt]~~~k&=&2
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~k+2+4k+2+9k+6&=&38
\\[3pt]~~~14k+10&=&38
\\[3pt]~~~14k&=&28
\\[3pt]~~~k&=&2
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\({\small [\,1\,]}\) のそれぞれの成分に代入すると、
\(x=2+2=4\)
\(y=2\cdot2+1=4+1=5\)
\(z=3\cdot2+2=6+2=8\)
したがって、点 \(\rm H\) は \({\rm H}(4~,~5~,~8)\) となる
問題アーカイブ02
問題アーカイブ023点 \({\rm A}(2~,~ 0~,~ 0)~,~\)\({\rm B}(0~,~ 1~,~ 0)~,~\)\({\rm C}(0~,~ 0~,~ 2) \) の定める平面を \(\alpha\) とし、原点 \(\rm O\) から平面 \(\alpha\) に垂線 \(\rm OH\) を下ろす。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm OH}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}+u\overrightarrow{\rm OC}\) と表すとき、\(\overrightarrow{\rm OH}\perp\overrightarrow{\rm AB}~,~\overrightarrow{\rm OH}\perp\overrightarrow{\rm AC}\) から \(4s-t=0~,~s-u=0\) であることを導け。
\({\small (2)}~\)点 \(\rm H\) の座標を求めよ。
\({\small (3)}~\)垂線 \(\rm OH\) の長さを求めよ。
\({\small (1)}~\)\(\overrightarrow{\rm OH}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}+u\overrightarrow{\rm OC}\) と表すとき、\(\overrightarrow{\rm OH}\perp\overrightarrow{\rm AB}~,~\overrightarrow{\rm OH}\perp\overrightarrow{\rm AC}\) から \(4s-t=0~,~s-u=0\) であることを導け。
\({\small (2)}~\)点 \(\rm H\) の座標を求めよ。
\({\small (3)}~\)垂線 \(\rm OH\) の長さを求めよ。
数研出版｜数学Ｃ[708] p.81 演習問題B 7
\({\small (1)}~\)
\(\overrightarrow{\rm OA}=\left(\begin{array}{c}2\\0\\0\end{array}\right)~,~\overrightarrow{\rm OB}=\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)~,~\overrightarrow{\rm OC}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\2\end{array}\right)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}&=&\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\0\\0\end{array}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}-2\\1\\0\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AC}&=&\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}0\\0\\2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\0\\0\end{array}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}-2\\0\\2\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
また、\(\overrightarrow{\rm OH}=s\overrightarrow{\rm OA}+t\overrightarrow{\rm OB}+u\overrightarrow{\rm OC}\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OH}&=&s\left(\begin{array}{c}2\\0\\0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)+u\left(\begin{array}{c}0\\0\\2\end{array}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}2s\\t\\2u\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm OH}\perp\overrightarrow{\rm AB}\) より、\(\overrightarrow{\rm OH}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2s\cdot(-2)+t\cdot1+2u\cdot0&=&0
\\[3pt]~~~-4s+t&=&0
\\[3pt]~~~4s-t&=&0\end{eqnarray}\)
\(\overrightarrow{\rm OH}\perp\overrightarrow{\rm AC}\) より、\(\overrightarrow{\rm OH}\cdot\overrightarrow{\rm AC}=0\) となるので、
\(\begin{eqnarray}~~~2s\cdot(-2)+t\cdot0+2u\cdot2&=&0
\\[3pt]~~~-4s+4u&=&0
\\[3pt]~~~s-u&=&0\end{eqnarray}\)
したがって、\(4s-t=0~,~s-u=0\) が成り立つ
\({\small (2)}~\)
\({\small (1)}\) より、\(4s-t=0\) から \(t=4s~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}\)
\(s-u=0\) から \(u=s~ ~ ~ \cdots {\small [\,2\,]}\)
また、点 \(\rm H\) は平面 \(\alpha\) 上にあるので、\(s+t+u=1\) となる
\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~s+4s+s&=&1
\\[3pt]~~~6s&=&1
\\[5pt]~~~s&=&\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}
\end{eqnarray}\)
よって、\({\small [\,1\,]}~,~{\small [\,2\,]}\) より、
\(t=4\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\)
\(u=\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\)
\(\overrightarrow{\rm OH}=\left(\begin{array}{c}2s\\t\\2u\end{array}\right)\) に代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm OH}&=&\left(\begin{array}{c}2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\\[5pt]\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\\[5pt]2\cdot\displaystyle \frac{\,1\,}{\,6\,}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\\[5pt]\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\\[5pt]\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
したがって、点 \(\rm H\) は \({\rm H}\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}~,~\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)\) となる
\({\small (3)}~\)
\({\small (2)}\) より、\(\overrightarrow{\rm OH}=\left(\begin{array}{c}\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\\[5pt]\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\\[5pt]\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\end{array}\right)\) なので、
\(\begin{eqnarray}~~~\left|\,\overrightarrow{\rm OH}\,\right|&=&\sqrt{\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}\right)^2+\left(\displaystyle \frac{\,1\,}{\,3\,}\right)^2}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\displaystyle \frac{\,6\,}{\,9\,}}=\sqrt{\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{3}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,4\,}{\,9\,}+\displaystyle \frac{\,1\,}{\,9\,}}
\\[5pt]~~~&=&\sqrt{\displaystyle \frac{\,6\,}{\,9\,}}=\sqrt{\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}}
\\[5pt]~~~&=&\displaystyle \frac{\,\sqrt{2}\,}{\,\sqrt{3}\,}=\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
したがって、垂線 \(\rm OH\) の長さは \(\displaystyle \frac{\,\sqrt{6}\,}{\,3\,}\) となる
問題アーカイブ03
問題アーカイブ03空間において、3点 \({\rm A}(3~,~ 0~,~ 1)~,~\)\({\rm B}(0~,~ 9~,~ 7)~,~\)\({\rm C}(9~,~ 12~,~ 0) \) を頂点とする \(\triangle {\rm ABC}\) がある。頂点 \(\rm C\) から対辺 \(\rm AB\) に垂線を下ろし、\(\rm AB\) との交点を \(\rm H\) とする。このとき、点 \(\rm H\) の座標を求めよ。
東京書籍｜Advanced数学Ｃ[701] p.63 問25
点 \(\rm H\) の座標を \({\rm H}(x~,~y~,~z)\) として、
原点を \(\rm O\) とすると、
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm CH}&=&\overrightarrow{\rm OH}-\overrightarrow{\rm OC}
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}9\\12\\0\end{array}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}x-9\\y-12\\z\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AH}&=&\overrightarrow{\rm OH}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\0\\1\end{array}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}x-3\\y\\z-1\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}~~~\overrightarrow{\rm AB}&=&\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA}
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}0\\9\\7\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}3\\0\\1\end{array}\right)
\\[5pt]~~~&=&\left(\begin{array}{c}0-3\\9-0\\7-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\9\\6\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
ここで、点 \(\rm H\) は直線 \(\rm AB\) 上にあるので、
\(\overrightarrow{\rm AH}=k\overrightarrow{\rm AB}\) となる実数 \(k\) がある
成分を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~\left(\begin{array}{c}x-3\\y\\z-1\end{array}\right)&=&k\left(\begin{array}{c}-3\\9\\6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3k\\9k\\6k\end{array}\right)\end{eqnarray}\)
それぞれの成分が等しいので、
\(\begin{eqnarray}~~~\left\{\,\begin{array}{l}x-3=-3k\\y=9k\\z-1=6k\end{array}\right.\end{eqnarray}\)
\(\begin{eqnarray}\Leftrightarrow ~ \left\{\,\begin{array}{l}x=-3k+3\\y=9k\\z=6k+1\end{array}\right.~ ~ ~ \cdots {\small [\,1\,]}
\end{eqnarray}\)
また、\(\overrightarrow{\rm CH}\perp\overrightarrow{\rm AB}\) より、\(\overrightarrow{\rm CH}\cdot\overrightarrow{\rm AB}=0\) となるので、
\(\overrightarrow{\rm CH}=\left(\begin{array}{c}x-9\\y-12\\z\end{array}\right)~,~\overrightarrow{\rm AB}=\left(\begin{array}{c}-3\\9\\6\end{array}\right)\) より、
\(\begin{eqnarray}~~~(x-9)\cdot(-3)+(y-12)\cdot9+z\cdot6&=&0
\\[3pt]~~~-3x+27+9y-108+6z&=&0
\\[3pt]~~~-3x+9y+6z&=&81\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~-3x+27+9y-108+6z&=&0
\\[3pt]~~~-3x+9y+6z&=&81\end{eqnarray}\)
\({\small [\,1\,]}\) を代入すると、
\(\begin{eqnarray}~~~-3(-3k+3)+9\cdot9k+6(6k+1)&=&81
\\[3pt]~~~9k-9+81k+36k+6&=&81
\\[3pt]~~~126k-3&=&81
\\[3pt]~~~126k&=&84
\\[5pt]~~~k&=&\displaystyle \frac{\,84\,}{\,126\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
\\[3pt]~~~9k-9+81k+36k+6&=&81
\\[3pt]~~~126k-3&=&81
\\[3pt]~~~126k&=&84
\\[5pt]~~~k&=&\displaystyle \frac{\,84\,}{\,126\,}=\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}
\end{eqnarray}\)
※ 数式は横にスクロールできます。
よって、\({\small [\,1\,]}\) のそれぞれの成分に代入すると、
\(x=-3\cdot\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+3=-2+3=1\)
\(y=9\cdot\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}=6\)
\(z=6\cdot\displaystyle \frac{\,2\,}{\,3\,}+1=4+1=5\)
したがって、点 \(\rm H\) は \({\rm H}(1~,~6~,~5)\) となる
